Resumen de Analytic approximations of integral transforms in terms of elementary functions: application to special functions

Pablo Palacios Herrero

• español

  Esta tesis se centra en el estudio de nuevos métodos analíticos para la aproximación de transformadas integrales y, en particular, de funciones especiales que admiten una representación integral. La importancia de estas funciones radica en que son soluciones a una gran variedad de ecuaciones funcionales que modelan fenómenos físicos específicos. Además, juegan un papel importante en las matemáticas puras y aplicadas, así como en otras ramas de la ciencia como la química, la estadística o la economía. Por lo general, las integrales que definen estas funciones especiales dependen de varios parámetros que tienen un significado físico específico. Por esta razón, es importante contar con técnicas analíticas que permitan su cálculo de una manera rápida y sencilla. Los métodos analíticos más utilizados se basan en expansiones en serie de validez local: Series de Taylor y expansiones asintóticas (divergentes) que son, respectivamente, válidas para valores pequeños o grandes de la variable físicamente relevante. Sin embargo, ninguno de ellos es, en general, válido simultáneamente para valores grandes y pequeños de la variable. En esta tesis buscamos nuevos métodos para el cálculo de desarrollos analíticos de transformadas integrales que satisfagan las siguientes tres propiedades: (a) Los desarrollos son uniformemente válidos en una gran región del plano complejo. Idealmente, estas regiones deberían ser ilimitadas y contener el punto 0 en su interior. (b) Las expansiones son convergentes. Por tanto, no es necesario obtener cotas de error ni estudiar el término óptimo para truncar la expansión: cuantos más términos se consideren, menor será el error cometido. (c) Las expansiones se dan en términos de funciones elementales. Desarrollamos una teoría de desarrollos uniformes que muestra las condiciones necesarias y suficientes para obtener desarrollos de transformadas integrales que cumplan las tres condiciones (a), (b) y (c) anteriores. Esta teoría se aplica para obtener nuevas aproximaciones en serie que satisfagan (a), (b) y (c) de un gran número de funciones especiales. Las nuevas expansiones se comparan con otras representaciones conocidas que podemos encontrar en la literatura para mostrar sus ventajas e inconvenientes. En contraste con las expansiones de Taylor y asintóticas, el principal beneficio de las expansiones uniformes es que son válidas en una gran región del plano complejo. Por esta razón, pueden usarse para reemplazar la función que aproximan (que a menudo es difícil de trabajar) cuando aparece en ciertos cálculos, como un factor de una integral o en una ecuación diferencial. Dado que estos desarrollos también se dan en términos de funciones elementales, tales cálculos pueden realizarse fácilmente. A continuación, consideramos un caso particularmente importante: cuando el núcleo de la transformada integral está dado por una exponencial. Desarrollamos un nuevo método de Laplace para integrales que produce expansiones asintóticas y convergentes, en contraste con el método clásico de Laplace que produce desarrollos divergentes. Las expansiones obtenidas con este nuevo método satisfacen (a) y (b) pero no (c), ya que la secuencia asintótica se da en términos de funciones beta incompletas. Finalmente, desarrollamos un nuevo método asintótico uniforme 'punto de silla cerca de un punto final' que no satisface (b) y (c) pero, a diferencia del método clásico de 'punto de silla cerca de un punto final',

• English

  This thesis focuses on the study of new analytical methods for the approximation of integral transforms and, in particular, of special functions that admit an integral representation. The importance of these functions lies in the fact that they are solutions to a great variety of functional equations that model specific physical phenomena. Moreover, they play an important role in pure and applied mathematics, as well as in other branches of science such as chemistry, statistics or economics. Usually, the integrals defining these special functions depend on various parameters that have a specific physical meaning. For this reason, it is important to have analytical techniques that allow their computation in a quick and easy manner. The most commonly used analytical methods are based on series expansions of local validity: Taylor series and asymptotic (divergent) expansions that are, respectively, valid for small or large values of the physically relevant variable. However, neither of them is, in general, simultaneously valid for large and small values of the variable. In this thesis we seek new methods for the computation of analytic expansions of integral transforms satisfying the following three properties: (a) The expansions are uniformly valid in a large region of the complex plane. Ideally, these regions should be unbounded and contain the point 0 in their interior. (b) The expansions are convergent. Therefore, it is not necessary to obtain error bounds or to study the optimal term to truncate the expansion: the more terms considered, the smaller the error committed. (c) The expansions are given in terms of elementary functions. We develop a theory of uniform expansions that shows the necessary and sufficient conditions to obtain expansions of integral transforms fulfilling the three conditions (a),(b) and (c) above. This theory is applied to obtain new series approximations satisfying (a), (b) and (c) of a large number of special functions. The new expansions are compared with other known representations that we may find in the literature to show their ad-vantages and drawbacks. In contrast to the Taylor and asymptotic expansions, the main benefit of the uniform expansions is that they are valid in a large region of the complex plane. For this reason, they may be used to replace the function they approximate (which is often difficult to work with) when it appears in certain calculations, such as a factor of an integral or in a differential equation. Since these developments are also given in terms of elementary functions, such calculations may be carried out easily. Next, we consider a particularly important case: when the kernel of the integral transform is given by an exponential. We develop a new Laplace’s method for integrals that produces asymptotic and convergent expansions, in contrast to the classical Laplace method which produces divergent developments. The expansions obtained with this new method satisfy (a) and (b) but not (c), since the asymptotic sequence is given in terms of incomplete beta functions. Finally, we develop a new uniform asymptotic method 'saddle point near an end point' which does not satisfy (b) and (c) but, unlike the classical 'saddle point near an end point' method, allows us to calculate the coefficients of the expansion by means of a simple and systematic formula.