Resumen de Algebraic Reliability. Monomial ideals applied to multi-state system reliability

Patricia Pascual Ortigosa

• español

  En esta tesis se estudia la fiabilidad de sistemas multi-estado mediante un acercamiento algebraico basado en ideales monomiales. Consideramos un sistema como un conjunto de componentes junto con una función de estructura. Tanto las componentes como el sistema se dicen binarios si u ́nicamente pueden alcanzar dos niveles o estados de funcionamiento diferentes: 0 es fallo y 1 es funcionamiento; mientras que se dicen multi-estado si pueden alcanzar más de dos estados diferentes. El estado o nivel de funcionamiento de un sistema está determinado por el estado de sus componentes por medio de su función de estructura. La fiabilidad (respectivamente no fiabilidad) de un sistema se define como la probabilidad de que el sistema se encuentre en un estado de funcionamiento (o en un estado de fallo, respectivamente). Para sistemas binarios, la fiabilidad representa la probabilidad de que el sistema se encuentre en estado 1, mientras que para los sistemas multiestado tenemos diferentes niveles de fiabilidad dependiendo del número de estados del sistema. La relación entre algebra y teoría de la fiabilidad viene dada por los ideales monomiales: ideales libres de cuadrados en el caso de sistemas binarios e ideales monomiales con exponentes en el caso multi-estado. Por ello, necesitamos estudiar con detenimiento la relación existente entre los ideales monomiales libres de cuadrados y los monomiales con exponentes. Para investigar esta relación, se exploran las operaciones polarización y depolarización. La polarización es una operación que transforma un ideal monomial con exponentes en un ideal monomial libre de cuadrados. Para cada ideal monomial existe una única polarización. La depolarización es la operación inversa, pero el resultado no es único: al depolarizar un ideal monomial libre de cuadrados podemos obtener más de un ideal monomial con exponentes. Con el objetivo de encontrar todas las posibles depolarizaciones de un ideal monomial, hemos desarrollado una herramienta combinatoria llamada support posets. Las operaciones polarización y depolarizacioón son interesantes porque los ideales originales y su polarización o depolarización comparten algunas propiedades importantes como pueden ser los númerosde Betti o la serie de Hilbert y, en muchas ocasiones, es más sencillo calcular estas propiedades en un caso determinado, es decir, a veces es más sencillo calcularlas en el caso libre de cuadrados y, otras, en un caso monomial con exponentes. En esta tesis hemos visto qué otras propiedades se comparten entre ambos ideales. Además, hemos investigado bajo qué condiciones un poset es support poset de un ideal monomial. Una vez tratadas las relaciones entre los ideales monomiales citados, comenzamos a analizar la fiabilidad de un sistema multi-estado. Existen diferentes métodos para calcular la fiabilidad de un sistema, incluso los hay que son muy eficientes para sistemas específicos y bajo ciertas condiciones. Hemos estudiado con especial detalle los sistemas multi-estado k-entre-n, para los que revisamos las diferentes definiciones que se han dado en la literatura y las interpretamos en términos de ideales monomiales. Para ciertas variantes de los sistemas k-entre-n multi-estado (sistemas binarios k-entre-n con componentes multi-estado, sistemas damos sus estructuras algebraicas asociadas y fórmulas explícitas para calcular sus números de Betti. El método algebraico que proponemos para calcular la fiabilidad es general y ofrece un buen rendimiento, aunque no es tan rápido como los métodos específicos. Además, hemos comprobado cómo se comporta, en algunos casos, el método en términos computaciones. Para ello, hemos desarrollado una clase en C++ con CoCoALib. La clase no solo nos va a permitir realizar experimentos computacionales con ella, sino que, además, está disponible para cualquier persona que la necesite.

• English

  In this thesis we study the reliability of multi-state systems using an algebraic approach based on monomial ideals. We consider a system to be a set of components together with a structure function. Both the components and the system are said to be binary if they can reach only two levels of performance: 0 for failure and 1 for working; whereas we call them multi-state if they can take more than two states of performance. The state or level of performance of the system is determined by the state of the components by means of the structure function of the system. The reliability (respectively unreliability) of a system is defined as the probability that the system is in a working (respectively failing) state. For binary systems, it represents the probability that the system is in state 1 (0) while in multi-state systems we have different reliability levels, depending on the number of states of the system. The relation between algebra and reliability theory is provided by monomial ideals: square-free monomial ideals in the binary case and monomial ideals with exponents in the multi-state case. Then, we need to investigate the relationship between squarefree monomial ideals and monomial ideals with exponents. To look into this relationship, we study the operations polarization and depolarization. Polarization is an operation that transforms a monomial ideal into a squarefree one. For each monomial ideal there is a unique polarization. Depolarization is the inverse operation but the resulting monomial ideal with exponents is not unique. In order to find all possible depolarizations of a monomial ideal, we develop a combinatoric tool: support posets. Polarization and depolarization are interesting because the original ideal and its polarization or depolarization share some important properties such as the Betti numbers. However, it is easier to compute them for the square-free monomial ideal. In this thesis we investigate more properties shared between both ideals. Furthermore, we investigate the conditions needed by a poset for being a support poset of a monomial ideal. Once the relation between monomial ideals is treated, we start to work on the analysis multi-state system reliability. There exist different methods to compute the reliability of a system and there are some that are really efficient for specific systems. We thoroughly study multi-state k-out-of-n systems for which we have reviewed the different definitions given in literature. For all of them, we gave an algebraic definition based on monomial ideals. For some variants of k-out-of- n systems we give its algebraic structures associated and explicit formulas for computing its Betti numbers. The algebraic method that we propose is general and provides a good performance, although it is not as fast as the specific ones. We check, in some situations, how the algebraic method proposed behaves in computational terms. To do that, we developed a C++ class with CoCoALib. Not only is this class going to allow us to do some computational experiments, but it is also available for everyone who needs to use it.