Resumen de Spaces of Analytic Functions With Average Radial Integrability and Integration Operators

Tanausú Aguilar

• español

  En esta memoria, introducimos la familia de espacios de funciones holomorfas en el disco unidad con integrabilidad radial media RM(p, q), 0 < p, q ≤ ∞. Esta familia contiene los espacios clásicos de Hardy Hq (cuando p = ∞) y los espacios de Bergman Ap (cuando p = q). Caracterizamos la inclusión entre RM(p1, q1) y RM(p2, q2) en función de los parámetros. Para 1 < p, q < ∞, proporcionamos una descripción de los espacios duales de RM(p, q) por medio de la acotación de la proyección de Bergman. Mostramos que RM(p, q) es separable si y sólo si q < ∞. De hecho, damos un método para construir copias isomorfas de l∞ en RM(p,∞). En la segunda mitad, estudiamos los operadores de integración Tg(f)(z) = ˆ z 0 f(w)g’(w) dw actuando sobre los espacios RM(p, q). Cuando consideramos el operador Tg entre el mismo espacio RM(p, q), proporcionamos una caracterización de la acotación, la compacidad y la compacidad débil. Al considerar la acción de Tg entre diferentes espacios, debido a la complejidad técnica de la situación, sólo caracterizamos su acotación. Para el primer caso, desarrollamos diferentes herramientas como una descripción del bidual de RM(p, 0) y estimaciones de la norma de estos espacios utilizando la derivada de las funciones, una familia de resultados que llamamos desigualdades de tipo Littlewood-Paley. Para el segundo caso, resolvemos un problema de medidas de tipo Carleson para los espacios tienda de funciones analíticas ATq p en el disco unidad. Estos espacios consisten en las funciones analíticas de los espacios tienda Tq p introducidos por Coifman, Meyer y Stein, y resulta que en muchos casos se tiene que RM(p, q) coincide con ATq p . Este problema de tipo Carleson fue planteado originalmente por Luecking.

• English

  In this thesis, we introduce the family of spaces of holomorphic functions in the unit disc with average radial integrability RM(p; q), 0 < p; q 1. This family contains the classical Hardy spaces Hq (when p = 1) and Bergman spaces Ap (when p = q). We characterize the inclusion between RM(p1; q1) and RM(p2; q2) depending on the parameters. For 1 < p; q < 1, we provide a description of the dual spaces of RM(p; q) by means of the boundedness of the Bergman projection. We show that RM(p; q) is separable if and only if q < 1. In fact, we provide a method to build isomorphic copies of `1 in RM(p;1). In the second half, we study integration operators Tg(f)(z) = z 0 f(w)g0(w) dw acting on RM(p; q) spaces. When we consider the operator Tg between the same RM(p; q) space, we provide a characterization of the boundedness, compactness, and weak compactness. When considering the action of Tg between different spaces, which is already an involved situation, we only characterize its boundedness. For the first case, we develop different tools such as a description of the bidual of RM(p; 0) and estimates of the norm of these spaces using the derivative of the functions, a family of results that we call Littlewood-Paley type inequalities. For the second case, we solve a problem of Carleson type measures for tent spaces of analytic functions ATq p in the unit disc. These spaces consist of those analytic functions of the tent spaces spaces Tq p introduced by Coifman, Meyer, and Stein, and it turns out that in many cases RM(p; q) = ATq p . This Carleson type problem was originally posed by Luecking.