Resumen de Distribution functions and probability measures on topological structures

José Fulgencio Gálvez Rodríguez

• español

  El presente trabajo tiene dos objetivos fundamentales: la construcción de una medida de probabilidad a partir de una estructura fractal y, por otra parte, el desarrollo de una teoría de funciones de distribución de probabilidad en espacios topológicos linealmente ordenados. Es por ello que esta memoria se encuentra estructurada en dos partes, cada una de ellas con el cometido de abordar uno de los dos objetivos mencionados previamente. No obstante, los dos primeros capítulos, no pertenecientes a ninguna de las dos partes como tal, sirven como punto de partida, puesto que proporcionan el marco teórico y una introducción a los problemas a los que nos enfrentamos en el resto de la memoria (véase el Capítulo 1), así como los conceptos y resultados matemáticos utilizados a lo largo de ésta (véase el Capítulo 2). El segundo capítulo tendrá que ver con casi-seudométricas, estructuras fractales, teoría de la medida, conjuntos ordenados, así como con la completación de Dedekind-MacNeille.

  A continuación se detalla, de una manera bastante sintética, el contenido de cada una de las partes de la tesis doctoral de acuerdo con los capítulos en que se divide su contenido, comentando los subobjetivos y resultados principales tratados en cada uno de ellos.

  La primera parte, en la que se pretende, como ya se ha comentado, presentar un método para construir medidas de probabilidad a partir de un espacio con una estructura fractal, comienza con un capítulo (el tercero del trabajo) cuyo objetivo primero es la construcción de la completación del espacio dotado de dicha estructura. Veremos que dicha completación, que siempre existe, es única salvo isomorfismos fractales. Dicha completación será el punto de partida hasta conseguir definir una medida de probabilidad en el espacio original. De hecho, en el Capítulo 4 vemos cómo definir una medida de probabilidad en la completación del espacio. Esto lo podemos hacer de dos formas: primero partiendo de una familia de bolas y de una premedida definidas sobre éste y, además, podemos construir una nueva medida, también en la completación, pero a partir de los elementos de una estructura fractal teselación. Hecho esto, el siguiente paso de este desarrollo teórico es explorar condiciones para que la restricción de la medida de probabilidad de la que ya disponemos al espacio original sea, efectivamente, una medida de probabilidad. Es más, probaremos que cualquier medida de probabilidad definida en el espacio puede construirse a partir de cierta premedida siguiendo el procedimiento presentado. Eso es, precisamente, a lo que se dedicará el quinto capítulo, el cual se acompañará de varios ejemplos con el fin de ilustrar la construcción llevada a cabo, así como la idoneidad de ciertas hipótesis impuestas hasta la consecución de una medida de probabilidad en el espacio de partida. Para finalizar esta primera parte, en el Capítulo 6 se ponen de manifiesto algunas aplicaciones que surgen de la teoría desarrollada en los capítulos previos. Por ejemplo, la generación de medidas de probabilidad a partir de estructuras fractales nos permite desarrollar un nuevo método de estimación de parámetros que, si bien apoya las predicciones realizadas por el conocido método de máxima verosimilitud, ve mejorados los resultados cuando la muestra de la que se parte contiene datos completamente ajenos a la distribución cuyos parámetros queremos estimar. Además, es posible generar muestras de una determinada distribución de probabilidad o diseñar un test de bondad de ajuste, ambos basados en la construcción expuesta en los Capítulos 4 y 5.

  La segunda parte trata sobre la elaboración de una teoría de funciones de distribución en un contexto más general que el conocido sobre la recta real, al que nos referiremos como caso clásico. Dicho contexto tiene que ver con los espacios topológicos linealmente ordenados. En el Capítulo 7 se parte de una medida de probabilidad en un espacio topológico linealmente ordenado y separable para definir una función de distribución de probabilidad en dicho espacio. Además, se define la inversa de una función de distribución y se estudian las propiedades de ambas funciones, comparándolas con las que éstas presentan en el caso clásico. De hecho, una de las limitaciones que presenta la inversa de una función de distribución es que no siempre está definida para todos los valores del intervalo unidad, dado que no tenemos garantizada la existencia del ínfimo y del supremo de cualquier subconjunto del espacio de partida. Por ello, surge la necesidad de disponer de un ambiente donde la definición de la inversa tenga completo sentido, puesto que es una herramienta que permitirá, entre otras cosas, generar muestras de una determinada distribución de probabilidad a partir de un procedimiento similar al de la transformada inversa, conocido en el caso de funciones de distribución reales de variable real, y utilizado para generar muestras aleatorias. Precisamente, en el Capítulo 8 estudiamos la completación de Dedekind-MacNeille (o completación por cortaduras) de un espacio topológico linealmente ordenado y separable, y vemos cómo extender la función de distribución, definida en el espacio original, a dicha completación. De hecho, dicha completación resulta ser una compactación del espacio de partida. Dicha completación posibilita la definición de la inversa de una función de distribución en términos de cortaduras y de forma que está bien definida para todo punto en [0,1]. Siguiendo esta línea de investigación, tiene sentido plantearse bajo qué condiciones podemos garantizar que existe una relación biunívoca entre medida de probabilidad y función de distribución en el contexto en el que nos enmarcamos. Este estudio se lleva a cabo en el Capítulo 9. Es más, se determinarán condiciones para garantizar que cierta función es la inversa de la función de distribución de cierta medida de probabilidad en la sigma álgebra de Borel del espacio. En el Capítulo 10 se presentan dos aplicaciones que han surgido de la teoría desarrollada en los Capítulos 7, 8 y 9. Por una parte, se puede demostrar que toda función de distribución en un espacio topológico linealmente ordenado y separable se puede expresar como la suma convexa de dos funciones de distribución, cada una de ellas con cierta peculiaridad en cuanto a su continuidad y, por otro lado, diseñamos un test de bondad de ajuste, similar al test de Kolmogorov-Smirnov, conocido en el caso clásico. Finalmente, el Capítulo 11 sirve como punto de encuentro entre ambas partes del trabajo realizado. Concretamente, se muestra cómo construir una estructura fractal a partir de un espacio topológico linealmente ordenado y viceversa. Esta conexión entre ambas estructuras topológicas hace posible dar el paso de medida de probabilidad a función de distribución, y al contrario, tanto en un ambiente como en otro, de forma que las aplicaciones mostradas en cada parte del trabajo cobran perfecto sentido a la hora de desarrollarse en el contexto preferido por el investigador.

  El trabajo culmina con las conclusiones pertinentes y la correspondiente bibliografía, entre cuyas referencias se encuentran seis artículos de investigación, en los que figura como autor el que es el aspirante al título de doctor mediante este trabajo: [29], [30], [31], [32], [33] y [34]. Dichos trabajos respaldan la mayor parte del contenido de esta tesis.

• English

  The present work has two fundamental goals: the construction of a probability measure from a fractal structure and, on the other hand, the development of a theory of probability distribution functions in linearly ordered topological spaces. That is why this dissertation is divided into two parts, each of them with the task of treating one of the two mentioned objectives. However, the first two chapters, which do not belong to either of the two parts as such, serve as a starting point, since they provide the theoretical framework and an introduction to the problems which are faced in the rest of the dissertation (see Chapter 1), as well as the mathematical concepts and results which are used along it (see Chapter 2). The second chapter will have to do with quasi-pseudometrics, fractal structures, measure theory, ordered sets, as well as with the Dedekind-MacNeille completion.

  The content of each of the parts of the doctoral thesis is detailed below, in a fairly synthetic way, according to the chapters into which its content is divided, commenting on the sub-goals and main results treated in each of them.

  The first part, whose aim is, as it was already mentioned, to introduce a method to construct probability measures from a space with a fractal structure, begins with a chapter (the third of the work) whose first goal is the construction of the completion of the space provided with that structure. We will see that this completion, which always exists, is unique up to fractal isomorphism. This completion will be the starting point until a probability measure is defined on the original space. In fact, in Chapter 4 we see how to define a probability measure on the completion of the space. We can do this in two ways: first, starting from a family of balls and a pre-measure defined on it and, moreover, we can build a new measure, also in the completion, but starting from the elements of a tiling fractal structure. Once we have done this, the next stepprobability measure that we already have to the original space is, actually, a probability measure. Furthermore, we will prove that each probability measure defined on the space can be constructed from a certain pre-measure following the procedure we have introduced. That is, precisely, what the fifth chapter will be devoted to, together with several examples in order to illustrate the construction that has been developed, as well as the suitability of certain hypotheses imposed until a probability measure is achieved in the starting space. To finish with this first part, Chapter 6 shows some applications that arise from the theory that has been developed in the previous chapters. For example, the generation of probability measures from fractal structures allows us to develop a new parameter estimation method which, while it supports the predictions made by the well-known maximum likelihood method, offers better results when the given sample contains data which is completely unrelated to the distribution whose parameters we want to estimate. Furthermore, it is possible to generate samples of a certain probability distribution or design a goodness-of-fit test, both based on the construction exposed in Chapters 4 and 5.

  The second part deals with the elaboration of a theory of distribution functions in a more general context than the one known on the real line, which we will refer to as the classical case. This context has to do with linearly ordered topological spaces. In Chapter 7 we start from a probability measure on a separable linearly ordered topological space to define a probability distribution function in that space. Furthermore, the pseudo-inverse of a distribution function is defined and the properties of both functions are studied, comparing them with those that they have in the classical case. In fact, one of the limitations of the pseudo-inverse of a distribution function is that it is not always defined for all values of the unit interval, since the existence of the infimum and the supremum of any subset of the starting space is not guaranteed. Therefore, we need an environment where the definition of the inverse makes complete sense, since it is a tool that will allow, among other things, to generate samples of a certain probability distribution by using a similar procedure to the inverse transform method, known in the case of real distribution functions of real variable, and used to generate random samples. Precisely, in Chapter 8 we study the Dedekind-MacNeille completion (or completion by cuts) of a separable linearly ordered topological space, and we see how to extend the distribution function, defined on the original space, to that completion. In fact, that completion turns out to be a compactification of the original space. This completion makes it possible to define the inverse of a distribution function in terms of cuts and so that it is well defined for each point at [0, 1]. Following this research line, it makes sense to ask ourselves under what conditions we can guarantee that there is a one-to-one relationship between probability measures and distribution functions in the context in which we are working.

  This study is carried out in Chapter 9. Furthermore, conditions will be determined to guarantee that a certain function is the inverse of the distribution function of a certain probability measure on the Borel σ-algebra of the space. In Chapter 10 we introduce two applications that have arisen from the theory developed in Chapters 7, 8 and 9. On the one hand, it can be shown that each distribution function in a separable linearly ordered topological space can be written as the convex sum of two distribution functions, each one with a certain peculiarity in terms of its continuity and, on the other hand, we describe a goodness-of-fit test, similar to the Kolmogorov-Smirnov test, known in the classical case. Finally, Chapter 11 serves as a meeting point between both parts of the work. Specifically, it shows how to build a fractal structure from a linearly ordered topological space and vice versa. This connection between both topological structures makes it possible to move from a probability measure to a distribution function, and vice versa, in both environments, so that the applications shown in each part of the work make perfect sense when they are developed in the context that the researcher prefers.

  The work finishes with the pertinent conclusions and the corresponding bibliography, among whose references there are six research articles, in which the candidate for the title of doctor through this work appears as author: [29], [30], [31], [32], [33] and [34].

  These works support most of the content of this thesis.