Resumen de Singularities of germs and vanishing homology
Roberto Giménez Conejero
Esta tesis cubre dos artículos conjuntos con Nuño-Ballesteros, un artículo conjunto con Nuño-Ballesteros y Lê D Tràng y un trabajo en desarrollo con Mond. Estos tres trabajos delimitan las tres partes principales del texto.
Como se ha mencionado, el texto está dividido en tres partes. La primera de ellas trata el estudio de singularidades de gérmenes de aplicaciones holomorfas en el contexto de la teoría de Thom-Mather, i.e., móduloequivalencia. En particular, nos centramos en gérmenes de corrango uno de en pero también desarrollamos la teoría para gérmenes de El principal objetivo de la primera parte del texto es encontrar una texts buena caracterización de la equisingularidad de Whitney para familias a un parámetro de gérmenes finitos de corrango uno. Una caracterización de la equisingularidad de Whitney ya fue dada por Gaffney en 1993: una familia de gérmenes es Whitney equisingular si, y solo si, es excelente y todas las multiplicidades polares en el dominio y codominio son constantes a lo largo de la familia. No obstante, esta caracterización tiene el inconveniente de necesitar una gran cantidad de invariantes para asegurar la equisingularidad.
Se han hecho algunos avances desde el resultado de Gaffney, por ejemplo, Jorge Pérez y Saia redujeron el número de invariantes en 2006, necesitando todavía una gran cantidad de ellos. Además, Houston tiene un artículo no publicado basado en una prepublicación inédita de Gaffney en el que trata esta cuestión.
Nuestra contribución ha sido, en primer lugar, encontrar una condición para deshacerse de la hipótesis de excelencia. Más concretamente, Houston conjeturó en 2010 que una familia de gérmenes de corrango uno era excelente si el número de Milnor en la imagen era constante a lo largo de la familia. Hemos resuelto esta conjetura en el par de dimensiones $(n,n+1)$, ergo usamos el invariante $\mu_I$ para asegurar la excelencia de la familia.
Por otro lado, nos inspiramos en el trabajo de Teissier para hipersuperficies con singularidad aislada en 1982 y en el de Gaffney para ICIS en 1996: caracterizar la equisingularidad de Whitney en términos de una secuencia $\mu^*$ o, lo que es lo mismo, estudiar los números de Milnor de secciones genéricas con codimensión creciente. Así, probamos un resultado similar para gérmenes de aplicaciones usando esta filosofía, usando el teorema de Gaffney y reduciendo el número de invariantes que necesitamos. Pese a ello, en el caso de gérmenes de aplicaciones, necesitamos condiciones que controlen el dominio y el codominio por separado, y es por ello que usamos la secuencia para el codominio, usando el número de Milnor en la imagen usual, y la secuencia para el dominio, usando una definición análoga del número de Milnor en la imagen para gérmenes de aplicaciones con un ICIS en el dominio. Esta última secuencia fue la motivación para desarrollar la teoría de gérmenes de aplicaciones desde un ICIS.
Por último, cabe destacar que hemos probado algunos resultados interesantes a lo largo de nuestro trabajo en esta dirección. El primero de ellos es el principio de conservación del número de Milnor en la imagen, así como su semicontinuidad superior. Entre otros, también es de excepcional interés una versión débil de la conjetura de Mond. Recordamos que la conjetura de Mond afirma que el número de Milnor en la imagen de un germen -finito es mayor o igual que su -codimensión (con igualdad en el caso homogéneo con pesos, llamado también casi homogéneo). Así pues, hemos probado que el número de Milnor en la imagen es cero si, y solo si, el gérmen es estable (o, equivalentemente, que su -codimensión es cero).
La segunda parte de este texto trata la monodromía geométrica local de las fibraciones de Milnor-Lê: probamos que una monodromía geométrica local de un germen no fija ningún punto si . Esto es una generalización de un teorema de Lê Tràng en 1975 enunciado para gérmenes con dominio suave, . Además, Tibar enunció este resultado en su tesis doctoral y en un artículo.
Para probar esta generalización usamos una técnica desarrollada por Lê Tràng llamada el carrusel: un campo vectorial con propiedades adecuadas. La idea principal de la prueba es levantar este campo vectorial a y tomar su flujo para tener una monodromía geométrica, por lo tanto, también usamos las técnicas mostradas en 1976 para probar los lemas de isotopía de Thom-Mather.
Este teorema, así como su versión original dada por Lê Tràng, tiene aplicaciones interesantes. Mediante un teorema clásico de Lefschetz, el teorema que demostramos implica que el número de Lefschetz de una monodromía geométrica local es cero. Esto también es un resultado de A'Campo en 1973, que da una versión más general usando maquinaria matemática pesada y cuya prueba, en la versión más general, atribuye a Deligne. Como corolario de esta aplicación, podemos probar que el hecho de ser suave es un invariante topológico de gérmenes de hipersuperficies usando también un teorema de Lê Tràng en 1973. Este corolario puede ser probado, también, con otro teorema de A'Campo en 1973, que es, a su vez, consecuencia de nuestro resultado principal.
Finalmente, mostramos un teorema de nocoalescencia en un contexto general. Esto quiere decir que, bajo ciertas condiciones, una familia de singularidades, en algún sentido, no puede escindirse a lo largo de una familia si se conservan ciertos invariantes, como el número de Milnor. Por ejemplo, en 1973, Lê Dg Tràng demostró que una familia de hipersuperficies con singularidades aisladas no tiene coalescencia si la suma de los números de Milnor es constante a lo largo de la familia (véase también el trabajo de Bey en y el de Lazzeri en 1973). Otro ejemplo de no coalescencia fue dado por Carvalho, Nuño-Ballesteros, Oréfice-Okamoto y Tomazel1972} la para familias de ICIS con número de Milnor total constante. Más precisamente, por contexto general nos referimos a una familia de hipersuperficies dadas por funciones con puntos críticos aislados en cierto espacio ambiente que además es unespacio de Milnor con ciertas hipótesis en la fibración y la familia.
Finalmente, la tercera parte es una nueva forma de encarar el estudio de inestabilidades de gérmenes de aplicaciones -fnitos de en $\CC^{p}$, con $p>n$. Como el lector verá, la principal herramienta que usamos para controlar el número de Milnor en la imagen en la primera parte del texto son los espacios de puntos múltiples de los gérmenes. Pese a ello, no los usamos como un todo, sino que solo nos preocupamos por la parte alternada de su homología porque usamos una secuencia espectral que calcula la imagen (ICSS) para calcular los números de Milnor en la imagen. Esta es la razón para intentar usar toda la simetría de los espacios de puntos múltiples en lugar de solo su homología alternada. Esto lo hacemos utilizando la estructura de los espacios de puntos múltiples (de momento, en corrango uno) y teoría de representaciones.
La filosofía de esta nueva forma de aproximarse a problemas de inestabilidades de gérmenes es intentar transformarlos en problemas de álgebra lineal. De hecho, tenemos éxito cuando tratamos de relacionar la constancia de en familias, donde es elnúmero de Milnor en los puntos dobles dado en la primera parte del texto como . En particular, probamos que la constancia de implica la de en familias de monogérmenes de corrango uno.
Además, probamos que cualquier espacio de puntos múltiples de un monogermen de corrango uno que tenga una singularidad dará homología alternada cuando tomemos su fibra de Milnor. Esto es también una generalización de un teorema dado en la primera parte del texto para familias de gérmenes que admiten un desdoblamiento estable a un parámetro.
