Resumen de Gröbner's problem and the geometry of gt-varieties
Liena Colarte Gómez
La tesis doctoral contribuye principalmente a dos problemas remarcables en geometría algebraica y álgebra conmutativa. Por un lado tenemos el problema, propuesto por Gröbner en 1967, de determinar cuándo una proyección monomial de la variedad de Veronese es aritméticamente Cohen-Macaulay (aCM). Por otro lado, el problema clásico y fundamental de describir la estructura interna del anillo de invariantes de un grupo finito. El enfoque desarrollado en la disertación es combinatorio con una aplicación a las propiedades de Lefschetz de los ideales artinianos. La disertación se ha organizado en cuatro capítulos principales, un Capítulo 1 introductorio donde se recopilan las nociones y resultados básicos que se necesitan en el cuerpo del texto; y un Apéndice A donde se recogen dos algoritmos y sus implementaciones en el programa Wolfram Mathematica, los cuales se han utilizado en la ejemplicación de los resultados principales de la tesis.
En el Capítulo 2, consideramos el problema de Gröbner y demostramos que dado un grupo G lineal, diagonal, abeliano y finito de orden d, el conjunto de invariantes monomiales de G de grado d es un sistema minimal de generadores del anillo de invariantes de su extensión cíclica GG. Demostramos que dicho conjunto de monomios parametriza una proyección monomial aCM de la variedad de Veronese.
Llamamos a dichas projecciones GG-variedades con grupo G, forman una familia de variedades aCM que conectan la geometría algebraica, el álgebra conmutativa, la combinatoria y las propiedades de Lefschetz.
En el Capítulo 3, estudiamos la geometría de las GG-variedades con grupo G en aras de determinar una resolución libre y minimal de su anillo de coordenades homogéneo. Analizamos su función y serie de Hilbert desde el punto de vista de la combinatoria y la teoría de invariantes. Demostramos que su ideal homogéneo está minimalmente generado por binomios de grado como máximo 3 y exhibimos ejemplos que alcanzan dicha cota. Identificamos su módulo canónico con un ideal del anillo de invariantes de GG y probamos que está generado por monomios de grado d y 2d.
En el Capítulo 4, investigamos la relación entre los invariantes de grupos lineales no abelianos y la propiedad débil de Lefschetz. Demostramos que el anillo de invariantes de una representación del grupo diedral D de orden 2d está mínimamente generado por monomios y binomios de grado 2d. Esto nos permite probar que generan un GT-sistema y que parametriza una GT-variedad aCM. A continua -ción determinamos una resolución libre y minimal de su anillo de coordenadas homogéneo y determinamos un sistema minimal de generadores de su ideal homogéneo de grado 2.
En el Capítulo 5, introducimos la família de RL-variedades. Se trata de proyecciones monomiales no aCM lisas y racionales de la variedad de Veronese relacionadas con las GG-variedades con grupo G. Describimos el fibrado vectorial normal de una RL-variedad y contribuimos al problema clásico de determinar la dimensión de la cohomología del fibrado normal de variedades proyectivas.
