Resumen de Contributions to close-enough arc routing problems
Miguel Reula Martín
A pesar de carecer de datos específicos, se estima que el sector del transporte representa aproximadamente el 64% del consumo mundial de combustible, el 27% del consumo total de energía y el 23% de las emisiones mundiales de dióxido de carbono (CO2) relacionadas con la energía. Además, se prevé que el impacto medioambiental del sector del transporte aumente de forma drástica en los próximos años debido al efecto de la globalización, que ha eliminado barreras haciendo posible la accesibilidad a todos los lugares, productos y servicios del mundo. Por ello, el transporte se sitúa como uno de los principales retos en materia de desarrollo, para impulsar la prosperidad y lograr así un entorno sostenible que reduzca el consumo energético. Con este fin, la tecnología desarrollada para el análisis y la explotación de la enorme cantidad de datos -que están generando fuentes como la sensorización, los contenidos de Internet o el comportamiento de los usuarios- está ayudando a definir los patrones y las necesidades de circulación, mejorando de este modo la calidad y la eficiencia de las soluciones de transporte. Al mismo tiempo, el acceso a las nuevas tecnologías está alterando el comportamiento y las expectativas de los consumidores, promoviendo una creciente tendencia a la inmediatez en nuestra sociedad.
El sistema de transporte siempre ha sido un factor crucial para las empresas que transportan mercancías o prestan servicios y hoy en día se ha convertido en un elemento diferencial en sus esfuerzos por maximizar la satisfacción del cliente. Por ello, el transporte no se limita a trasladar mercancías de un lugar a otro o a prestar un servicio concreto, sino que es un proceso estratégico que busca reducir los costes logísticos y mejorar la experiencia del cliente/consumidor. En la actualidad, es prioritario que las empresas adopten una calidad de servicio óptima que proporcione una mayor eficiencia en los tiempos y una mayor adaptabilidad, seguridad y resiliencia.
La logística del transporte puede optimizarse mediante una planificación adecuada de las rutas con el fin de maximizar la productividad, ahorrar en costes de transporte y aumentar la rentabilidad. Se gastan cantidades exorbitantes de dinero en combustible, funcionamiento y mantenimiento de vehículos, así como en mano de obra. Por ello, después de años de conocer su función e importancia, cada vez somos más conscientes de la importancia de optimizar la logística y convertirla en una ventaja competitiva y de que esta optimización de la logística es una cuestión clave a la hora de reducir gastos. Se estima que el uso de procedimientos informatizados para la planificación del proceso de distribución produce ahorros sustanciales (generalmente de entre el 5% y el 20%) en los costes globales de transporte. De hecho, el proceso de transporte implica a todas las etapas de los sistemas de producción y distribución y representa generalmente del 10% al 20% del coste final de las mercancías. En este sentido, una pequeña mejora en los problemas de rutas puede suponer un enorme ahorro logístico en términos absolutos.
En el mundo académico, la optimización de rutas consiste en determinar la ruta más rentable teniendo en cuenta diversos factores, como las limitaciones de los vehículos, los controles de costes, las ventanas de tiempo para el servicio, las limitaciones de recursos en el proceso de carga en el depósito, etc. Así, los problemas de rutas han sido definidos como el diseño de rutas óptimas desde un depósito hasta un conjunto de destinos para las cuales existen restricciones específicas. Estos problemas han atraído la atención de muchos investigadores y profesionales durante los últimos 60 años debido a los retos matemáticos que conlleva su estudio y resolución, y también debido a la motivación que supone el gran impacto económico de las mejoras encontradas. Se diferencian muchos tipos de problemas de rutas según el tipo de mercancía o servicio a realizar, las características de la flota de vehículos (tamaño, capacidad, autonomía), la distancia y el nivel de servicio de los clientes, etc.
La mayoría de los problemas de rutas son extremadamente difíciles de resolver de forma óptima en la práctica, por lo que se clasifican en función de las especificaciones de las situaciones reales a modelar. Una clasificación general de estos problemas de rutas se hace dependiendo de si los clientes se representan mediante nodos en un grafo (problemas de rutas de nodos, NRP), y aquellos en los que el servicio se realiza en los arcos o aristas (problemas de rutas de arcos, ARP). Aunque tradicionalmente la investigación en problemas de rutas se ha centrado más en los problemas de rutas de nodos, la literatura sobre problemas de rutas por arcos está creciendo cada día, y el número y la eficiencia de los algoritmos diseñados para estos problemas han aumentado considerablemente en los últimos años. En esta tesis, nos centraremos en el marco de los problemas de rutas por arcos o ARPs.
El ARP se define como el diseño de una ruta (o varias rutas) de tal manera que todos los arcos y/o aristas de un grafo que requieren ser servidos deben ser recorridos. Si nos remitimos al origen, el primer problema de rutas por arcos fue el Problema del Cartero Chino (CPP), introducido por el matemático chino Guan en el año 1962. El nombre del problema se debe a que el autor planteó la situación en la que se encontraba un cartero que quería encontrar un camino de longitud mínima que le permitiera repartir todo el correo. Dado un grafo, el CPP pretende encontrar un camino cerrado de coste mínimo que atraviese todos los arcos y/o aristas al menos una vez. Posteriormente, se propuso el Problema del Cartero Rural (RPP), una generalización del CPP, en la que los servicios no tenían que realizarse en todas las calles, sino en un subconjunto de ellas. El objetivo de éste es también encontrar un camino cerrado de mínimo coste que recorra al menos una vez todos los arcos y/o aristas que requieren ser atendidos, pudiendo pasar por el resto para cerrar el camino. Desde entonces, en la literatura se han estudiado de forma detallada un gran número de variantes de estos problemas. Además del reparto de correo, los problemas de rutas por arcos han sido estudiados en la literatura gracias a las muchas aplicaciones que tienen en la organización de tareas, como la recogida de basuras, el servicio de limpieza de nieve, el reparto de leche, la inspección de sistemas de distribución (redes eléctricas, telefónicas o ferroviarias), la limpieza y el riego de calles, etc. Cada año se gastan millones de euros en estas operaciones y el ahorro que se puede conseguir optimizándolas es enorme. El principal reto de estos problemas es que no pueden modelizarse como simples ARPs, sino que cada problema tiene sus propias características. Por lo tanto, la metodología utilizada para resolverlos debe ser específica y debe considerar el contexto específico de cada problema.
Al igual que en otros sectores, las innovaciones tecnológicas relevantes, como los nuevos tipos de dispositivos, la tecnología de identificación por radiofrecuencia (RFID) y la disponibilidad de datos en tiempo real a través de la geolocalización, los flujos de tráfico o la comunicación entre clientes y conductores, han provocado numerosos cambios en el negocio de la logística del transporte. Simultáneamente, la investigación operativa sigue evolucionando y plantea la necesidad de definir y estudiar nuevos problemas, así como la incorporación de nuevas características a los ya existentes. En los últimos años, el desarrollo de las nuevas tecnologías trajo consigo escenarios que no requieren que el vehículo alcance la ubicación del cliente, sino sólo que se acerque a éste para realizar el servicio. Esta situación es conocida como "close-enough" en los problemas de rutas, ya que el vehículo sólo necesita pasar lo suficientemente cerca de la posición del cliente (Close-Enough Routing Problems - CERPs). Si además para cada cliente el servicio se lleva a cabo cuando el vehículo atraviesa los arcos de un grafo, resulta el Close-Enough Arc Routing Problem (CEARP). El CEARP consiste en encontrar una ruta de coste mínimo que empiece y termine en el depósito y que atraviese algunas de las calles de una red de carreteras de manera que se preste servicio a todos los clientes. Notar que, como un cliente es atendido cuando el vehículo se acerca a una determinada distancia, se conocen qué calles debe recorrer el vehículo para atender a cada cliente. La principal característica de este problema es que, a diferencia de los Problemas de Rutas por Arcos tradicionales, el conjunto de calles que hay que recorrer no se conoce de antemano, sino que es una variable de decisión.
Una de las aplicaciones más directas del CEARP se encuentra en la lectura automática de contadores, ya que la identificación por radiofrecuencia (RFID) permite recoger a distancia los datos de consumo de los contadores de gas, electricidad o agua, en lugar de tener que hacerlo puerta a puerta como era habitual hace años. El contador envía una señal que describe el consumo y que es captada por el receptor si se encuentra a una distancia determinada. Así, dada una red de carreteras en la que se encuentran los contadores, existen vehículos con un receptor de radiofrecuencia que pueden leer el consumo con sólo acercarse a cada contador. En este caso, el vehículo/operador sólo tiene que entrar en la zona de cobertura del contador para realizar el servicio, sin necesidad de visitar físicamente a todos los clientes, lo que supone un ahorro de tiempo y dinero.
Otra aplicación de estos problemas se encuentra en la gestión de inventarios en las grandes empresas, especialmente en aquellas en las que hay muchos productos y, por tanto, comprobarlos uno a uno requiere mucho tiempo. Las etiquetas RFID han revolucionado la gestión de la cadena de suministro al permitir a los responsables de los almacenes registrar el inventario de forma mucho más eficiente de lo que podían hacerlo leyendo los números de las cajas y registrándolos manualmente. Los investigadores del MIT han desarrollado un sistema que permite a los drones aéreos leer las etiquetas RFID desde decenas de metros de distancia e identificar la ubicación de las etiquetas con un error medio de unos 19 centímetros. Por lo tanto, para realizar el inventario, el dron no necesita atravesar todos los pasillos del almacén para la recogida de datos. Los investigadores prevén que el sistema podría utilizarse en grandes almacenes tanto para la supervisión continua, con el fin de evitar desajustes en el inventario, como para localizar artículos individuales, de forma que los empleados puedan responder de forma rápida y fiable a las peticiones de los clientes.
Por otra parte, el CEARP también ha sido utilizado para modelizar el recorrido a realizar por los drones con receptores RFID o cámaras incorporadas que realizan determinadas tareas como el control de calidad de mantenimiento o la vigilancia de las redes. En esta última tarea, los drones no tienen que sobrevolar los puntos o líneas a vigilar, sino sólo acercarse al objetivo a una determinada distancia. Finalmente, en una red de sensores inalámbricos, donde los sensores están geográficamente distantes entre sí, puede no ser práctico requerir que los sensores se coordinen directamente entre sí para formar una red de comunicación, debido a la restricción de energía. Una posible solución es emplear un robot móvil, que pueda desplazarse a todos los sensores para descargar los datos y finalmente regresar a su estación base (posición de partida).
En esta tesis estudiamos tres problemas de optimización combinatoria NP-hard que surgen en el contexto de los Close-Enough ARPs. El primero es el Profitable CEARP para un solo vehículo, y el segundo y el tercero son el Distance-Constrained CEARP y el Min-Max CEARP, respectivamente, ambos para múltiples vehículos. Para resolver estos tres problemas, se han desarrollado métodos exactos y heurísticos que no sólo abordan los problemas previamente definidos en la literatura científica, sino también nuevas generalizaciones que acercan los resultados teóricos a las necesidades reales que pueden surgir. De hecho, la finalidad de la tesis es doble. Por un lado, contribuir a un estudio en profundidad de las variantes definidas del CEARP. Por otro lado, aportar nuevas ideas y conocimientos al campo de la Investigación Operativa que puedan ser útiles para abordar otros problemas combinatorios de naturaleza similar.
En los primeros capítulos se presenta el contexto en el que surgen los problemas estudiados en esta tesis. Empezamos describiendo algunos conceptos esenciales de la Programación Matemática para proporcionar a los lectores no expertos una revisión conceptual detallada y para introducir los temas, la terminología y la notación matemática que se utiliza en los capítulos siguientes. Presentamos varios principios básicos de la teoría de grafos, la programación lineal y entera, y la teoría poliédrica y la combinatoria poliédrica. Posteriormente, ofrecemos una visión general de algunos problemas de rutas clásicos que han sido ampliamente estudiados en la literatura científica. Debido a la gran variedad de problemas de rutas, nos centramos únicamente en aquellos considerados como la base de muchos otros problemas relacionados que han surgido a lo largo de los años debido a la necesidad de adaptarlos a situaciones específicas. El conocimiento de estos problemas originales contribuye a una mejor y más rápida comprensión de los problemas más complejos, ya que para resolver este tipo de problemas es necesario estudiar sus propiedades y características, que son esenciales para desarrollar un método de solución a medida. Para concluir la sección introductoria, se presenta el estado del arte y las aplicaciones del mundo real de los CERP. Con la intención de introducir estos problemas, se incluye una visión general del CETSP, el problema homólogo para problemas de rutas por nodos, junto con un estudio más detallado de toda la investigación existente hasta el momento para el CEARP, el ARP que sirve de base de los problemas estudiados en esta tesis.
A continuación nos centramos en el estudio de la primera generalización del CEARP, el Profitable CEARP (PCEARP). Los problemas de rutas con beneficios tratan situaciones en las que los clientes a los que hay que dar servicio deben ser elegidos entre un conjunto de clientes potenciales que tienen un beneficio asociado, beneficio que se se recoge cuando se les da servicio. Consisten básicamente en diseñar una o varias rutas que den servicio a los clientes elegidos y de forma que se optimice un objetivo definido en función del coste o/y del beneficio. Un problema de rutas con beneficios se denomina profitable cuando su objetivo es maximizar la diferencia entre el beneficio recaudado y el coste de las rutas. En el capítulo 5 se estudia en profundidad el PCEARP, en el que se asocia un beneficio a cada cliente y se recolecta (sólo una vez) cuando se sirve al cliente. El objetivo es encontrar un recorrido que maximice la diferencia entre el beneficio total recaudado de servir a los clientes y la distancia de recorrida. El capítulo comienza definiendo formalmente el problema, proponiendo una formulación y realizando un estudio poliédrico en profundidad. Se demuestra que algunas desigualdades de la formulación siempre definen la faceta y que otras lo hacen bajo condiciones específicas. Además, a partir de las propiedades de los recorridos del PCEARP, se presentan otras desigualdades válidas no obtenidas directamente de la formulación, que refuerzan la descripción del poliedro.
Para resolver el Profitable CEARP se ha diseñado e implementado una heurística y un algoritmo Branch and Cut. La heurística combina un procedimiento constructivo y una búsqueda local de manera que somos capaces de proporcionar al algoritmo exacto cotas inferiores iniciales. En el algoritmo Branch and Cut se estudian todos los procedimientos de separación para la identificación de las desigualdades violadas y el orden en que se aplican. Ambos algoritmos han requerido de un ajuste y evaluación mediante diversos experimentos y un amplio análisis estadístico. Para probarlos se han generado cuatro conjuntos diferentes de instancias específicas de este problema con hasta 800 clientes, 400 vértices y 2000 arcos. Según los resultados de los experimentos computacionales, el procedimiento exacto es capaz de resolver óptimamente instancias grandes con hasta 600 clientes, 300 vértices y 1500 arcos, en menos de una hora. El capítulo es el resultado de una colaboración con el profesor Bianchessi, de la Università degli Studi di Milano, destino de mi estancia de investigación. El siguiente trabajo ha sido enviado a una revista internacional para su publicación: N. Bianchessi, Á. Corberán, I. Plana, M. Reula, J.M. Sanchis. 2021. The Profitable Close Enough Arc Routing Problem. Under revision.
Los capítulos 6 y 7 tratan el Distance-Constrained CEARP (DC-CEARP). Se trata de un CEARP en el que una flota de vehículos, o bien un vehículo varias veces, realiza el servicio a los clientes. Esta generalización del problema consiste en encontrar un conjunto de rutas que salgan y entren en el depósito y sirvan a todos los clientes, de forma que la longitud (en distancia o tiempo) de cada ruta no supere un determinado valor. El objetivo es minimizar la longitud total recorrida.
El Capítulo 6 aborda el CEARP con distancias restringidas, definiendo formalmente el problema, introduciendo la notación utilizada y presentando la formulación más prometedora propuesta en la literatura. Dado que en la batería de instancias que existen del problema los valores de las distancias máximas por ruta son muy ajustados y dificultan su resolución, hay un buen número de instancias sin resolver. Por ello, nos centramos en el diseño e implementación de una matheurística multi-arranque que incorpora un método efectivo de Branch and Cut para el CEARP con el fin de optimizar las rutas obtenidas. En los experimentos computacionales, presentamos los resultados obtenidos con dos versiones del algoritmo, considerando un número máximo de iteraciones y un límite de tiempo, respectivamente. En general, el enfoque propuesto encuentra soluciones factibles para casi todas las instancias y soluciones óptimas para más del 70% de ellas. El capítulo se basa en el siguiente documento publicado: Á. Corberán, I. Plana, M. Reula, J.M. Sanchis. 2019. A matheuristic for the Distance-Constrained Close Enough Arc Routing Problem. TOP. 27, 312–326.
El Capítulo 7 también aborda el Distance Constrained Close Enough Arc Routing Problem, pero en este caso se realiza un estudio más detallado del problema. Comenzamos proponiendo una nueva formulación que combina las mejores características de las formulaciones ya existentes en la literatura ya que, a pesar de tener más variables, se pretende reforzar su relajación lineal. Para esta formulación hemos realizado un estudio exhaustivo de su poliedro asociado y hemos propuesto varias familias de desigualdades válidas. Además, basándonos en los algoritmos de separación para las nuevas desigualdades, hemos propuesto un algoritmo de Branch and Cut que proporciona muy buenos resultados. Se han realizado amplios experimentos computacionales sobre un conjunto de instancias de referencia para analizar la contribución de las desigualdades válidas y los algoritmos de separación presentados. Se comparan los huecos en el nodo raíz y los perfiles de rendimiento de las distintas versiones de nuestro procedimiento de ramificación y corte (utilizando distintas combinaciones de algoritmos de separación). Los resultados de las dos mejores versiones de nuestro algoritmo Branch and Cut se comparan con los obtenidos con los métodos matheuristicos y exactos de la literatura. La mejor versión de nuestro algoritmo Branch and Cut es capaz de resolver óptimamente instancias con hasta 140 clientes, 196 vértices, 544 arcos y 5 vehículos tomando un tiempo máximo de computación de dos horas. El capítulo se basa en el siguiente documento publicado: Á. Corberán, I. Plana, M. Reula, J.M. Sanchis. 2021. On the Distance-Constrained Close Enough Arc Routing Problem. European Journal of Operational Research. 291(1), 32-51.
En el Capítulo 8 estudiamos el Min-Max CEARP (MM-CEARP) para una flota de vehículos homogéneos. Teniendo en cuenta el tipo de aplicaciones del CEARP, esta variante trata de equilibrar la longitud de las rutas minimizando la duración de la ruta más larga. El problema consiste en encontrar un conjunto de rutas, todas ellas con inicio y fin en el depósito, que sirvan conjuntamente a todos los clientes, y con un objetivo minmax, es decir de minimizar la máxima ruta. Basándonos en la experiencia previa en el DC-CEARP, los algoritmos Branch and Cut eran muy complicados de resolver cuando intentábamos resolver instancias con muchos vehículos. Por lo tanto, nos planteamos el reto de diseñar e implementar un algoritmo Branch and Price capaz de resolver instancias con un gran número de vehículos. Comenzamos presentando y proporcionando dos modelos diferentes para el problema: una formulación basada en arcos, con variables de flujo y servicio, que se ha utilizado para desarrollar un algoritmo Branch and Cut, y una formulación basada en variables por ruta, que se ha utilizado para el desarrollo de un algoritmo de Branch and Price. También desarrollamos un algoritmo heurístico que utilizamos para proporcionar soluciones iniciales factibles a los algoritmos exactos. El Branch and Cut se basa en en el algoritmo exacto desarrollado en la literatura para el DC-CEARP.
En el Branch and Price hemos implementado dos técnicas atípicas de estos algoritmos a la hora de abordar problemas de rutas: la regla de primer nivel aplicada en el esquema de ramificación (basada en la regla de ramificación de Ryan y Foster) y un algoritmo de Branch and Cut para resolver óptimamente los Pricing Prlblems en lugar de utilizar programación dinámica. El primero permite recuperar soluciones enteras a costa de una diversificación de los conjuntos de rutas factibles, no introduce simetrías en el espacio de soluciones, no altera la estructura de los problemas de precios y, por último, permite que los pricing problems sigan compartiendo la misma región factible. Hemos realizado un amplio análisis computacional en el que hemos comparado el rendimiento de los algoritmos exactos en cuatro conjuntos de instancias probadas con un mínimo de 2 vehículos y un máximo de 11 vehículos. Los resultados muestran que el algoritmo de Branch and Cut consigue los mejores resultados para las instancias con dos vehículos, mientras que el algoritmo Branch and Price se comporta mejor para las instancias con tres o más vehículos. Este capítulo también es resultado de la colaboración con el profesor Bianchessi, de la Università degli Studi di Milano, durante mi estancia de investigación. El trabajo ha sido enviado a una revista internacional para su publicación: N. Bianchessi, Á. Corberán, I. Plana, M. Reula, J.M. Sanchis. 2021. The Min-Max Distance-Constrained Close Enough Arc Routing Problem. Under revision.
Aunque la tesis concluye aquí, la investigación es un campo interminable por lo que el estudio llevado a cabo en este trabajo puede continuar abordando otras restricciones y variantes de los problemas descritos. Además, muchas de las ideas en las que se basan algunos de los algoritmos diseñados podrían ser adaptados directa o fácilmente para abordar otros problemas de enrutamiento de arcos relacionados, así como muchas de las ideas presentadas en las partes teóricas también podrían ser utilizadas en otros problemas relacionados.
Dados los excelentes resultados del algoritmo Branch and Price en la resolución de instancias de Min-Max CEARP con un número de vehículos grande, valdría la pena desarrollar un algoritmo del mismo tipo para el Distance-Constrained CEARP. Se ha estudiado en la literatura que los algoritmos Branch and Cut son muy eficientes en la solución del CEARP, y aquí mostramos que son muy eficientes en la solución de la variante multi-vehículo cuando el tamaño de la flota es pequeño pero, cuando el número de vehículos aumenta, un algoritmo de Branch and Price es mucho más apropiado.
Con respecto al Profitable CEARP considerado en el Capítulo 5, podría ampliarse de varias maneras añadiendo progresivamente características de problemas reales relacionados. Por ejemplo, el beneficio por cliente podría definirse por el tiempo que se tarda en realizar el servicio. Además, si un solo vehículo no es capaz de realizar todos los servicios, se requiere una flota de vehículos (o múltiples rutas para un solo vehículo). Se podría considerar que todos los vehículos tienen las mismas características o que tenemos una flota heterogénea. También podríamos establecer una distancia/tiempo máximo para cada ruta o minimizar el coste de la ruta más larga.
A excepción de la matheurística propuesta para el DC-CEARP, a lo largo de esta tesis hemos abordado los problemas desde un punto de vista teórico, cuyos resultados se han utilizado para desarrollar algoritmos exactos para la solución óptima de los problemas. Todos los problemas aquí estudiados son problemas combinatorios que son NP- hard, por lo que no existen algoritmos que encuentren las soluciones óptimas en tiempo polinómico. Así, puede ocurrir que en determinadas circunstancias sea necesario disponer de soluciones de buena calidad para problemas reales en tiempos de computación cortos. En este sentido, pensamos que, como resultado del conocimiento adquirido durante el estudio de los problemas tratados en esta tesis, se podrían diseñar e implementar algoritmos heurísticos y/o metaheurísticos para los tres problemas estudiados que mejoren la calidad de las soluciones.
