Resumen de Foliaciones de codimensión uno newton no degeneradas
Beatriz Molina Samper
El objeto principal de mi investigación, presentado en esta memoria con la que opto a obtener el grado de ``Doctora en Matemáticas por la Universidad de Valladolid'', es el estudio de las foliaciones holomorfas de codimensión uno ``Newton no-degeneradas''.
Las singularidades no degeneradas para hipersuperficies han sido descritas clásicamente por A. Kouchnirenko; vamos a dar una descripción rápida de éstas. Consideramos un germen de hipersuperficie en $(\mathbb{C}^n,0)$, definido localmente por una ecuación reducida $f=0$ en coordenadas locales $\mathbf{z}=(z_1,z_2,\ldots,z_n)$. Tomamos el desarrollo de Taylor de $f$ dado por $f=\sum_{\sigma}\lambda_{\sigma}\mathbf{z}^{\sigma}$, consideramos la envolvente convexa de los $\sigma \in \mathbb{R}_{\geq 0}^n$ tales que $\lambda_\sigma \ne 0$ y a ésta le sumamos el primer ortante $\mathbb{R}_{\geq 0}^n$. Así se obtiene el poliedro de Newton de $f$. Consideramos su frontera compacta $\Delta$ y decimos que la singularidad es no degenerada si los coeficientes son ``genéricos'' en un sentido que definiremos más adelante. Esta clase de singularidades es abierta y densa en el espacio de coeficientes cuando $\Delta$ está fijo. También M. Oka hace un estudio de las singularidades no degeneradas para el caso de intersecciones completas.
Tomando un punto de vista logarítmico, podemos definir un poliedro de Newton asociado a un germen de forma diferencial o campo de vectores, una vez fijemos un sistema de coordenadas. Desde una aproximación más geométrica, considerar un divisor con cruzamientos normales en el espacio ambiente, determina las coordenadas que vamos a utilizar. De este modo, podemos definir no un solo poliedro, sino un sistema de poliedros completo, cada uno de ellos asociado a uno de los estratos dados de forma natural por el divisor, como veremos en el Capítulo 2.
Un espacio foliado se define como el formado por una foliación de codimensión uno $\mathcal{F}$ en un espacio analítico complejo $M$, junto con un divisor con cruzamientos normales $E \subset M$. La mayoría de las definiciones, propiedades y resultados que presentamos en este trabajo conciernen al espacio foliado $(M,E,\mathcal{F})$ y no sólo a la foliación $\mathcal{F}$. En la teoría general establecida en el Capítulo 4, introducimos el concepto de ``espacio foliado Newton no degenerado'' que, por supuesto, coincide con el clásico para gérmenes de hipersuperficies, cuando consideramos gérmenes de foliaciones con integral primera holomorfa. Por otro lado, una vez que tenemos un divisor con cruzamientos normales en el espacio ambiente, podemos hablar de ``explosiones combinatorias''. Éstas son explosiones centradas en la clausura de alguno de los estratos determinados por el divisor. Extendemos la definición dada por M.I.T. Camacho y F. Cano y decimos que una foliación de codimensión uno es de ``tipo tórico'' si obtenemos solamente ``puntos simples'' después de una sucesión de explosiones combinatoria, esto es, si tiene una ``desingularización combinatoria''. Cuando pedimos llegar sólo hasta ``puntos presimples'', decimos que la foliación es de ``tipo tórico débil''.
Uno de los resultados que demostramos en esta memoria es el ``teorema de equivalencia'' que dice que las foliaciones Newton no degeneradas son exactamente aquellas de tipo tórico débil, bajo la hipótesis de que la foliación no tiene sillas-nodo, es decir, es hiperbólico-compleja.
Señalemos que la clase de foliaciones Newton no degeneradas contiene foliaciones dicríticas, esto es, después de una sucesión finita de explosiones con centros invariantes, podemos encontrar componentes del divisor excepcional genéricamente transversales. Este hecho abre de manera natural la pregunta de si tales foliaciones admiten hipersuperficie invariante. La existencia de hipersuperficie invariante es un problema general planteado por René Thom, cuya solución es afirmativa en el caso no dicrítico (resultados de C. Camacho, P. Sad, D. Cerveau, F. Cano y J.F. Mattei), y negativa en el caso general dicrítico. Por eso es interesante detectar clases de foliaciones dicríticas en las que esté asegurada la existencia de hipersuperficie invariante.
Otro de los teoremas que presentamos en la memoria asegura la existencia de superficie invariante para las foliaciones de tipo tórico en dimensión tres. Para establecerlo, hemos necesitado un estudio profundo de las foliaciones Newton no degeneradas definidas en superficies proyectivas con estructura tórica. En este contexto presentamos una batería de resultados que clasifican dichas foliaciones y, en particular, ponen en evidencia la propiedad fundamental de prolongación de curvas invariantes aisladas para foliaciones Newton no degeneradas en superficies tóricas.
