Resumen de Brunella's local alternative

Marianna Ravara Vago

• Nuestro trabajo empieza con la siguiente conjetura, debida a Marco Brunella:

  CONJETURA DE BRUNELLA: Sea F foliación holomorfa singular de codimensión uno en CP(3). Si no existe superficie proyectiva algebraica invariante por F entonces cada hoja es unión de curvas algebraicas.

  Nosotros interpretamos la Conjetura de Brunella como un fenómeno de difusión-concentración de la no-trascendencia en las hojas, ya que son hojas de una foliación que, en definitiva, está dada por una ecuación algebraica. Si existe una hipersuperficie invariante, consideramos que la no-trascendencia está concentrada en ella. Caso contrario, se distribuye entre las hojas como la propiedad de que cada hoja está subfoliada por curvas algebraicas.

  El objetivo de nuestro trabajo es estudiar el fenómeno de concentración-difusión de la no-trascendencia en las hoja en la situación local de un germen de foliación F de (C^3,0). Si F admite un germen de superficie analítica invariante, consideramos que la no-trascendencia está concentrada en este germen. Caso contrario, la no-trascendencia se distribuye y las hojas de un entorno del origen presentarán propiedades de semi-trascendencia. En nuestro trabajo pedimos que la foliación F cumpla algunas condiciones técnicas no restrictivas, a las que llamamos RI (relatively isolated) y CH (complex hyperbolic).

  ALTERNATIVA DE BRUNELLA LOCAL: Sea F una foliación RICH de (C^3,0). Entonces se tiene una de las alternativas: 1) F admite un germen de superficie analítica invariante.

  2) Existe un entorno del origen formado por hojas con finales semi-trascendentes.

  El punto de partida es estudiar qué propiedades cumple un germen de foliación holomorfa singular de codimensión uno F en (C^3,0) que no admite superficie analítica invariante. La primera observación es que la foliación debe ser dicrítica.

  La segunda fase es pensar que, si no hay superficie invariante entonces todas las hojas de la foliación van a parar, después de reducción de singularidades, a una componente dicrítica compacta. Por consiguiente, dibujando una curva analítica en cada hoja en un punto regular de la intersección con la componente dicrítica se vería que cada hoja contiene una curva analítica invariante que llega al origen. Esta sería la propiedad local que reemplazaría la correspondiente global de Brunella. No obstante, esta propiedad no es tan evidente. La primera obstrucción es el comportamiento de las hojas cerca de una singularidad de tipo silla-nodo. Por esto en una primera aproximación vamos a considerar únicamente las foliaciones que no contienen sillas-nodo en una (y por consiguiente, en todas) reducción de singularidades. Estas foliaciones las denominamos Complex Hyperbolic foliations (foliaciones CH). A fin de controlar mejor la situación pedimos a la foliación una condición a la que llamamos RI - Relatively Isolated.

  El resultado técnico que corresponde a la Alternativa de Brunella Local es el siguiente:

  TEOREMA 1: Sea F foliación RICH de (C^3,0) y suponga que F no admite germen de superficie analítica invariante. Entonces se tiene una de las siguientes propiedades: A) Existe entorno W del origen tal que para cada hoja L de F en W existe curva analítica C que contiene el origen.

  B) Existe un germen de curva analítica K contenida en el lugar singular Sing F tal que F es genéricamente dicrítica o genéricamente nodal a lo largo de K.

  Como consecuencia del Teorema 1 obtenemos que todas las hojas de F tienen un final semi-trascendente. Otra consecuencia es que si no se tiene la opción B) entonces se tiene la situación A). Es decir, se puede ver antes de reducción de singularidades, mirando las curvas del lugar singular Sing F, si existe un entorno del origen tal que toda hoja de F en este entorno contiene un germen de curva analítica en el origen.

  Toda la parte técnica de la tesis está dedicada a la demostración del Teorema 1.