Resumen de Conocimiento de la práctica matemática sobre las demostraciones en profesores de matemática en formación inicial
Christian Alfaro Carvajal
Esta investigación está centrada en la caracterización del conocimiento especializado de la práctica matemática de la demostración de un grupo de profesores de matemáticas en formación inicial de la carrera de Bachillerato y Licenciatura en la Enseñanza de la Matemática de la Universidad Nacional de Costa Rica. Se enmarca dentro de la línea de investigación de formación de profesores de matemáticas, que forma parte del grupo de investigación FQM 193. Didáctica de la Matemática. Pensamiento Numérico del Departamento de Didáctica de la Matemática de la Universidad de Granada en España.
La demostración es un tema relevante en las Matemáticas y en la Matemática Escolar. En las Matemáticas el descubrimiento y la demostración de nuevos teoremas se encuentran en el nivel más elevado de la investigación, sin embargo, no existe una definición general aceptada por toda la comunidad matemática. Hay dos énfasis principales, uno cercano a la lógica y otro en donde se da mayor relevancia a los aspectos semánticos e informales (Cabassut et al., 2012; Hanna y De Villiers, 2012; Tall et al., 2012). En la Matemática Escolar también existe el debate entre los aspectos lógico-sintácticos y semánticos de la demostración, no obstante, existe consenso a nivel internacional sobre su importancia en la formación de estudiantes en todos los niveles educativos ya que favorece la comprensión sobre las Matemáticas y los procesos para desarrollar, establecer y comunicar el conocimiento matemático (Cabassut et al., 2012; Durand-Guerrier et al., 2012a; Mariotti, 2006; NCTM, 2003; Stylianides, 2007; Stylianides et al., 2017; Zaslavsky et al., 2012).
En el caso de la educación secundaria de Costa Rica, el currículo matemático considera el proceso de razonar y argumentar en los estudiantes, la demostración es considerada como una fase formal de la argumentación y tiene un papel relevante en la formulación de conjeturas (Ministerio de Educación Pública, 2012). Estas exigencias curriculares inciden directamente en el conocimiento del profesor de matemáticas para su desempeño profesional ya que debe tener un conocimiento específico sobre la demostración que incluye el conocimiento matemático el cual refiere al conocimiento sobre su naturaleza, es decir, sobre qué es una demostración y qué significa demostrar, sobre los aspectos lógicos y sintácticos y; sobre los aspectos matemáticos, además del conocimiento sobre sus funciones en las Matemáticas. Además, se considera el conocimiento pedagógico específico para la enseñanza de la demostración que refiere al conocimiento de todos los elementos que posibilitan su enseñanza en la matemática escolar (Buchbinder y McCrone, 2018; Cabassut et al., 2012; Durand-Guerrier et al., 2012b; Knuth, 2002; Lin et al., 2012; Lo y McCrory, 2009; Pietropaolo y Campos, 2009; Tabach et al., 2009).
A pesar de la importancia del conocimiento del profesor de matemáticas sobre la demostración, se ha detectado en algunas investigaciones que muchos profesores tienen concepciones sobre la demostración complejas y distintas (Montoro, 2007), manifiestan que es importante en las Matemáticas (Ayalon y Even, 2008; Ramos et al., 2015; Viseu et al., 2017) sin embargo, tienen puntos de vista diferentes sobre su papel en la Matemática Escolar (Crespo y Ponteville, 2005; Ramos et al., 2015). Asimismo, algunos evidencian una visión reducida sobre la naturaleza de la demostración, deficiencias en el conocimiento matemático involucrado (Martínez-Recio, 1999; Knuth, 2002; Vicario y Carrillo, 2005), presentan argumentos empíricos como si fuesen demostraciones (Flores, 2007; Stylianides y Stylianides, 2009) y basan su convicción en entes externos más que en su propio conocimiento (Lin et al., 2012).
La carrera de Bachillerato y Licenciatura en la Enseñanza de la Matemática de la Universidad Nacional de Costa Rica posee dentro de su plan de estudios un eje curricular denominado desarrollo del pensamiento lógico-matemático que incluye el conocimiento sobre las demostraciones matemáticas las cuales están presentes en todas las actividades formativas y brindan soporte a las distintas áreas disciplinarias. Dado que los estudiantes de esta carrera se desempeñarán en su mayoría como profesores de matemáticas en la educación secundaria costarricense, nos hemos propuesto como objetivo general caracterizar el conocimiento de los profesores de matemáticas en formación inicial en la Universidad Nacional de Costa Rica sobre la práctica matemática de la demostración.
Debido a que la mayoría de los sujetos de investigación tiene poca experiencia profesional, el estudio se ha delimitado al conocimiento matemático y para ello planteamos como objetivos específicos caracterizar el conocimiento de dichos profesores sobre los aspectos lógico-sintácticos y matemáticos de la demostración. Asimismo, hemos incluido como objetivo específico el estudio de las características de los argumentos que más convencen a los futuros profesores por su importancia en el conocimiento especializado. Dado que la demostración es un objeto matemático complejo y con múltiples significados hemos considerado pertinente incluir un objetivo específico para realizar un estudio teórico que permita caracterizar este concepto y contar con más elementos para estudiar el conocimiento de los profesores de matemáticas en formación inicial.
La investigación se ubica en el paradigma interpretativo en el que existe una preocupación por comprender las interpretaciones del individuo (Cohen, Manion y Morrison, 2007; Sandín, 2003) y tiene un enfoque cualitativo debido a que interesa la interpretación de los significados que los sujetos atribuyen a sus acciones, se estudian los hechos como un todo, de manera global e integrada y no se generalizan los resultados de la investigación (Bryman, 2012; Rodríguez, 2003). Las perspectivas teóricas empleadas en el estudio corresponden al análisis conceptual (Rico, 2001) en el marco del análisis didáctico y el modelo de conocimiento Mathematics Teacher’s Specialized Knowledge (MTSK) (Carillo et al., 2018).
El trabajo consta de cuatro fases, una teórica (Fase 0) y tres empíricas (Fases 1, 2 y 3). La Fase 0. Análisis conceptual de la demostración matemática consiste en un estudio teórico sobre la demostración matemática. Las fuentes de información fueron documentales como diccionarios, libros de texto, investigaciones previas y el Programa de Estudios de Matemáticas de la educación secundaria en Costa Rica. Para la recolección de la información se empleó la revisión bibliográfica o de literatura (Hernández-Sampieri, Fernández y Baptista, 2014). El análisis de la información se realizó mediante el análisis conceptual (Rico, 2001) considerando cuatro elementos fundamentales: los aspectos históricos de la demostración en Matemáticas, el concepto de demostración, los tipos de demostraciones y las funciones atribuidas.
La Fase 1. Validez lógica, es un estudio empírico sobre el conocimiento de los aspectos lógicos y sintácticos de la demostración. Los sujetos de investigación fueron 25 profesores de matemáticas en formación inicial en la carrera de Enseñanza de la Matemática de la Universidad Nacional de Costa Rica. Para la recolección de la información se aplicaron dos cuestionarios, el cuestionario 1 que trata a cerca de las formas de proceder en la demostración de una proposición genérica, es decir, desprovista de contenido matemático y el cuestionario 2, que está orientado a la evaluación de argumentos matemáticos.
La Fase 2. Validez matemática y la Fase 3. Convicción de un argumento matemático son estudios empíricos sobre el conocimiento de los aspectos matemáticos de la demostración y sobre las características de los argumentos más convincentes para los sujetos de investigación, respectivamente. Los sujetos participantes en ambas fases fueron 19 profesores de matemáticas en formación inicial en la carrera de Enseñanza de la Matemática de la Universidad Nacional de Costa Rica. Para la recolección de la información de la fase 2 se aplicó el cuestionario 3, sobre la evaluación de argumentos en función de los aspectos matemáticos tales como las hipótesis de la afirmación a demostrar y, los axiomas, definiciones y teoremas de la teoría matemática en donde están insertos la proposición y el argumento. Para la fase 3, se aplicó el cuestionario 4 en el que se presentan argumentos matemáticos para demostrar la irracionalidad de la raíz cuadrada de dos, el objetivo era determinar las características de los argumentos que los sujetos de investigación encontraron como más convincentes.
Para el análisis de la información de los cuatro cuestionarios se empleó el análisis de contenido, esta es una técnica científica de investigación para hacer inferencias replicables y válidas de textos (u otra materia significativa) a los contextos de su uso (Cohen, Manion, y Morrison, 2007; Krippendorff, 2004). En el caso de los cuestionarios 1, 2 y 3 se plantearon categorías de análisis e indicadores de conocimiento empleando los elementos teóricos sobre la demostración. Para el cuestionario 4, inicialmente se consideraron seis categorías y sus respectivas definiciones sobre la convicción de un argumento matemático consideradas en el marco teórico. Posteriormente, con el análisis de las respuestas de los sujetos fue necesario redefinir algunas categorías, eliminar otras y crear nuevas que se adaptaran a lo manifestado por los sujetos de investigación.
El análisis conceptual de la demostración nos ha permitido observar que es una noción compleja, que se ha entendido de diferentes maneras a lo largo de la historia, que tiene múltiples significados dependiendo del contexto en donde se ubique y con diferentes funciones. En las Matemáticas es fundamental para validar el conocimiento, no obstante, el rigor y el formalismo de los argumentos no son necesariamente los criterios fundamentales para la aceptación de nuevos resultados, sino que se consideran otros elementos como su función explicativa. En las Matemáticas Escolares, estos elementos deben ser tomados en cuenta para la enseñanza de la demostración, lo que sugiere que el profesor de matemáticas debe tener un conocimiento adecuado sobre ella para su desempeño profesional.
Consideramos que es necesario que el profesor de matemática conozca la variedad de significados de la palabra demostración, pero es fundamental que tenga claridad sobre lo que es una demostración matemática, sobre cómo se demuestra una proposición matemática y el para qué realizar demostraciones matemáticas. Asimismo, es importante su conocimiento sobre procesos asociados como el razonamiento, la explicación y la argumentación, de forma que pueda diferenciarlos y encontrar elementos de convergencia (Buchbinder y McCrone, 2018; Cabassut et al., 2012; De Villiers, 1993; Durand-Guerrier et al., 2012b; Flores-Medrano, 2015; Knuth, 2002; Lin et al., 2012; Lo y McCrory, 2009; Pietropaolo y Campos, 2009; Tabach et al., 2009).
El conocimiento de los profesores de matemáticas en formación inicial sobre las formas de proceder en una demostración en función de la estructura lógico-sintáctica es amplio. La gran mayoría expresa claramente cómo se demuestran proposiciones con cuantificador existencial y con cuantificador universal que involucra a la implicación, disyunción, conjunción y doble implicación, además muestran conocimiento para brindar ejemplos de cada una de ellas y describir la forma en que se demuestra. La mayoría evidencia conocimiento sobre la demostración directa y en menor medida sobre la indirecta. Las proposiciones con disyunción y conjunción presentaron menos respuestas. Asimismo, describen con más claridad la demostración del cuantificador universal, pues las del cuantificador existencial las identifican muchos de ellos con la necesidad de construcción del elemento que lo satisface. Aparecieron algunas categorías de conocimiento sobre demostración que fueron más allá de lo demandado en el cuestionario 1, como la demostración por inducción o la relación entre la doble implicación y la condición necesaria y suficiente.
En cuanto a la evaluación de argumentos matemáticos en función de los aspectos lógico-sintácticos, se aprecia que una gran mayoría de los futuros profesores de matemáticas evidencia conocimiento para discriminar si una argumentación es o no demostración matemática de una propiedad aritmética como la propuesta en el cuestionario 2. Muestran conocimiento para apreciar formas perversas de justificar que no pueden considerarse demostraciones, como la demostración para un caso particular, o la del teorema recíproco, así como para reconocer cuando se han realizado los pasos precisos para demostrar la proposición. No obstante, disminuye considerablemente la cantidad de sujetos que identifica los pasos cuando se plantea una demostración por reducción al absurdo.
Hemos apreciado que la totalidad de los futuros profesores de matemáticas evidencia conocimiento para determinar cuándo un argumento constituye una demostración matemática de una proposición, aunque pocos sujetos brindan las justificaciones para ello. Asimismo, la gran mayoría evidencia conocimiento para discriminar si un argumento no corresponde a una demostración matemática en función de aspectos matemáticos como el uso parcial de la hipótesis y el uso indebido de las definiciones. Sin embargo, hay una disminución importante de sujetos que identifica el uso indebido del axioma del inverso multiplicativo.
Estos resultados apoyan la apreciación de Cabassut et al. (2012) en la que afirman que la demostración matemática no establece hechos, sino que garantiza la validez de proposiciones del tipo si-entonces lo que implica que las hipótesis, axiomas, teoremas y definiciones deben entenderse y aplicarse en sus significados precisos en una teoría matemática. Consideramos que los aspectos matemáticos de la demostración pueden contribuir al conocimiento especializado de los profesores de matemática para comprender que los resultados matemáticos no son verdades universales.
Las características de los argumentos matemáticos que les son más convincentes a los profesores en formación inicial en orden de descendente son: la validez, la claridad y la simplicidad. Todas estas características apelan más a elementos de fondo que de forma en el argumento. Esto podría explicarse porque los sujetos de investigación están finalizando su formación inicial en la que han estado involucrados en procesos de demostración más formales en donde se brinda mayor importancia a los aspectos rigurosos.
Se puede apreciar que las características que aluden más a la forma del argumento, como la familiaridad, la forma ritual y el uso de elementos concretos, han sido señaladas por pocos sujetos. En las Matemáticas la convicción puede estar asociada a otros elementos alternativos a los aspectos lógico-formales, de hecho, la aceptación de nuevos resultados en la comunidad matemática, se considera un proceso social en donde quizás los aspectos más relevantes sean la comprensión y el significado (De Villiers, 1993; Hanna, 2002).
