Three classical problems in mathematical analysis

• Autores: Hernán Javier Cabana Méndez
• Directores de la Tesis: Juan Benigno Seoane Sepúlveda (dir. tes.) , Gustavo Adolfo Muñoz Fernández (dir. tes.)
• Lectura: En la Universidad Complutense de Madrid ( España ) en 2021
• Idioma: inglés
• Número de páginas: 96
• Títulos paralelos:
  • Tres problemas clásicos en análisis matemático
• Tribunal Calificador de la Tesis: Juan Ferrera Cuesta (presid.) , Víctor Manuel Sánchez de los Reyes (secret.) , Gustavo Da Silva Araujo (voc.) , Marina Murillo Arcila (voc.) , José Alberto Conejero Casares (voc.)
• Enlaces
  • Tesis en acceso abierto en: Docta Complutense
• Resumen
  • español

    En esta tesis doctoral se han abarcado diversas cuestiones de Análisis Matemático en general, como el estudio y construcción de espacios vectoriales topológicos y cuestiones relacionadas con la naturaleza de la variable compleja y su uso como herramienta.

    Esta tesis doctoral ofrece mucha originalidad a la hora de emplear técnicas de diversas ramas de las matemáticas, no sólo de análisis matemático, a la hora de abordar problemas y estudiar la verdadera naturaleza de éstos y un entendimiento profundo de las limitaciones que nos da la propia naturaleza de dichos problemas. La naturaleza de esta tesis doctoral puede dividirse en el estudio de las siguientes tres clases de problemas: -Naturaleza de polinomios en espacios normados (tanto de dimensión finita como de dimensión infinita): En el caso de la dimensión finita estudiamos la comparación de ciertas normas polinomiales así como las consecuencias que esto supone sobre los espacios completados que dichas normas generan. En el caso de la dimensión infinita nos centraremos en hablar sobre la imposición de ciertos criterios topológicos que garanticen la continuidad de los polinomios definidos en espacios normados de dimensión no finita, destacando también las ventajas y limitaciones de cuando estamos trabajando en el caso Real o en el caso Complejo.

    -Genericidad algebraica y Lineabilidad: En esta tesis también hablaremos sobre la construcción y la existencia (o no existencia) de espacios vectoriales de funciones en el cual, dada una determinada propiedad funcional, cada función no nula de dicho espacio satisfaga esa propiedad y, en caso de que dicho espacio exista, determinar la dimensión máxima para la cual podemos construir un espacio así. En 2004 V. Gurariy demostró que existe un espacio vectorial de dimensión 2 de funciones continuas sobre la recta real en el cual toda función no nula alcanza su máximo en un único punto y planteó el problema de si puede existir un espacio así con dimensión 3. En el desarrollo de esta tesis doctoral, se contestará finalmente a esa pregunta utilizando Geometría afín, conceptos de Análisis funcional, y herramientas muy potentes de Topología General, entre ellas, topologías de identificación y el Teorema de Moore. Además, también hablaremos sobre la hiperciclicidad de operadores relacionados con desarrollos de Taylor definidos en el espacio de las funciones holomorfas definidas sobre un dominio.

    -El problema del Radio de Bohr: Dado un determinado número natural mayor que uno aún no se conoce el valor exacto del llamado Radio de Bohr para ese determinado número natural.

    Hasta la fecha sólo se conocen estimaciones superiores e inferiores y comportamientos asintóticos cuando hacemos tender a infinito el número natural. En esta tesis doctoral, utilizando polinomios trigonométricos, constantes optimas de equivalencia de normas polinomiales, y criterios clásicos dónde se alcanzan (o se rompen) determinadas igualdades, hemos conseguido determinar para cada número natural una nueva estimación inferior para el Radio de Bohr que además, asintóticamente tiene exactamente el mismo comportamiento que éste.

  • English

    The title of this dissertation alludes to the study of three classical problems of mathematical analysis. All the results that have been obtained as the fruit of four years of hard work are related, wholly or partially to at least one of the following three fields:

    • Banach spaces of polynomials: This is a vast field as the educated reader knows well. In particular we have studied continuity properties of polynomials on Banach spaces and topological relationships among polynomial spaces.

    • Algebraic genericity and lineability: This is the study of the algebraic structure within certain sets in a linear space. We give an answer to a question posed by Gurariy in the early 2000’s and, as a matter of fact, we prove a generalizationto the question formulated by Gurariy. We also link the notion of algebraic genericity to the study of sequences of operators related to Taylor series.

    • The classical Bohr radius problem: We provide an estimated on the n-dimensional Bohr radius for the polydisk Dn that improves other previous estimates...