Effective computation of invariants of finite topological spaces

• Autores: Julian L. Cuevas Rozo
• Directores de la Tesis: Laureano Lambán Pardo (dir. tes.) , Ana Romero Ibáñez (dir. tes.) , Humberto Sarria Zapata (dir. tes.)
• Lectura: En la Universidad de La Rioja ( España ) en 2021
• Idioma: inglés
• Número de páginas: 153
• Títulos paralelos:
  • Cálculo efectivo de invariantes de espacios topológicos finitos
• Tribunal Calificador de la Tesis: José Manuel Gómez Guerra (presid.) , César Domínguez (secret.) , Andrea Guidolin (voc.)
• Enlaces
  • Tesis en acceso abierto en: Dialnet
• Resumen
  • español

    En este trabajo hemos presentado algoritmos efectivos para el cálculo de invariantes de espacios topológicos finitos. Estos algoritmos han sido desarrollados por medio de la combinación de técnicas combinatorias sobre posets, las cuales han sido establecidas en los trabajos que fundamentan la teoría de los espacios finitos, y de trabajos recientes en esta línea de trabajo, tales como métodos para mantener tipos de homotopía débil o tipos de homotopía simple y la aplicación de la Teoría de Morse Discreta.

    La memoria ha sido organizada en cinco capítulos. El Capítulo 1 contiene algunas notaciones, definiciones y resultados concernientes a la Topología Algebraica de espacios topológicos finitos, sus conecciones con complejos simpliciales y algunas perspectivas de la Teoría de Morse Discreta, las cuales serán útiles a lo largo de este trabajo. También se ha incluído una presentación del programa Kenzo como una herramienta poderosa para el desarrollo de nuestras implementaciones algorítmicas en capítulos posteriores.

    Hasta el momento, los métodos conocidos para el cálculo de invariantes de espacios topológicos finitos eran aplicables solamente en los posets de caras de complejos simpliciales o de CW-complejos regulares. En el Capítulo 2, hemos desarrollado versiones constructivas de algunos resultados teóricos de diferentes autores acerca de espacios topológicos finitos, produciendo en particular nuevos algoritmos para el cálculo explícito de algunos complejos de cadenas asociados a espacios finitos h-regulares (que resultan más pequeños que el complejo de cadenas del complejo simplicial asociado al espacio finito) y sus correspondientes generadores. Hemos implementado los algoritmos mencionados en el sistema de álgebra computacional Kenzo. Hasta donde sabemos, nuestro programa es el único software capaz de calcular grupos de homología de espacios topológicos finitos trabajando directamente sobre los posets sin tener que acudir, necesariamente, al mundo simplicial. Más aún, hemos mejorado nuestros algoritmos sobre espacios finitos h-regulares mediante el uso de campos de vectores discretos. En este caso, hemos producido un nuevo algoritmo para construir un campo de vectores discreto definido directamente sobre el poset, el cual puede ser aplicado a espacios finitos h-regulares en general; como hemos dicho antes, hasta donde sabemos no existe otro software que produzca esta clase de construcción sobre espacios topológicos finitos en general.

    Los algoritmos ya mencionados para calcular homología son aplicables a espacios finitos h-regulares. En la literatura hay pocos ejemplos de espacios finitos h-regulares diferentes a los posets de caras de complejos simpliciales. El proceso de h-regularización que hemos desarrollado en el Capítulo 3, produce una amplia variedad de espacios finitos de este tipo. De hecho, cualquier espacio finito de altura menor o igual a dos puede ser h-regularizado, permitiendo considerar nuevos ejemplos de esta clase de espacios.

    En el Capítulo 4, hemos presentado una interfaz entre los sistemas de álgebra computacional SageMath y Kenzo. Nuestro trabajo ha hecho posible trabajar con Kenzo de una forma más amigable y ha permitido que ambos sistemas colaboren mutuamente en algunos cálculos que no pueden ser hechos de manera independiente por dichos programas. Más aún, hemos creado un módulo en SageMath implentando espacios topológicos finitos y algunos conceptos relacionados mediante el uso de los algoritmos en Kenzo previamente mencionados. Finalmente, en el Capítulo 5, hemos considerado algunas estrategias para estudiar diferentes alternativas para calcular campos de vectores discretos de mayor longitud sobre espacios finitos. Además, hemos usado algunas técnicas de aprendizaje automático (machine learning) tales como aprendizaje por refuerzo y árboles de búsqueda Monte-Carlo para obtener campos de vectores discretos de la mayor longitud posible.

  • English

    In this work we have presented effective algorithms to compute invariants of finite topological spaces. These algorithms have been developed by combining combinatorial techniques on posets, which have been stated in the foundational papers of the theory of finite spaces, and recent results in this line of work, such us methods to maintain weak homotopy types or simple homotopy types and the application of Discrete Morse Theory.

    The memoir has been organized in five chapters. Chapter 1 contains some notations, definitions and previous results about Algebraic Topology on finite topological spaces, their connections with simplicial complexes and some insights into the Discrete Morse Theory, which will be useful along our work. Also, a presentation of the Kenzo program as a powerful tool for the development of our algorithmic implementations in posterior chapters, has been included.

    Up to now, the known methods for computing invariants of finite topological spaces were applicable only for face posets of simplicial complexes or regular CW-complexes. In Chapter 2, we have made constructive some theoretical results on finite topological spaces by different authors, producing in particular new algorithms for computing in an explicit way some chain complexes associated with h-regular finite topological spaces (smaller than the chain complex of the order complex of the finite space) and their corresponding generators. We have implemented the previous algorithms in the computer algebra system Kenzo. Up to our knowledge, our new program is the only software able to compute homology groups of finite topological spaces working directly on the posets without having to go, necessarily, to the simplicial world. Moreover, we improve our algorithms on h-regular spaces by using discrete vector fields. In our case, we produce a new algorithm constructing a discrete vector field defined directly on the poset that can be applied to general h-regular finite spaces; as before, up to our knowledge there does not exist any other software producing this kind of construction over general finite topological spaces.

    The algorithms to compute homology above mentioned are applicable to h-regular finite spaces. In the literature there are few examples of hregular finite spaces, different from face posets of simplicial complexes. The h-regularization process we have described in Chapter 3, produces a wide variety of h-regular finite spaces. Indeed, as we have shown, any finite space of height at most two can be h-regularized, allowing to consider new examples of this kind of spaces.

    In Chapter 4, we have presented an interface between the computer algebra systems SageMath and Kenzo. Our work has made it possible to work with Kenzo in a friendlier way and to allow both systems to collaborate in some computations which can not be done independently in any of the programs. Moreover, we have created a module implementing finite topological spaces and related concepts in SageMath by using our previously explained Kenzo algorithms. Finally, in Chapter 5, we have considered some strategies trying to study alternatives to compute longer discrete vector fields on finite spaces. Moreover, we consider some machine learning techniques such as reinforcement learning and Monte- Carlo tree search to obtain discrete vector fields as big as possible.