Resumen de Bishop operators: invariant subspaces and spectral theory
Miguel Monsalve López
Desde hace casi un siglo, se han propuesto varias clases de operadores como posibles contraejemplos para el Problema del Subespacio Invariante: quizás, la pregunta abierta más importante en Teoría de Operadores en espacios de Banach reflexivos y, en particular, en espacios de Hilbert. Uno de los candidatos más sencillos viene dado por la familia de los operadores de Bishop definidos sobre los espacios Lp[0,1) para 1 < p < ¿, los cuales fueron sugeridos por Errett Bishop durante la década de los cincuenta. A pesar de su aparente sencillez, resulta que las propiedades de los operadores de Bishop T¿ siguen siendo ampliamente desconocidas. En particular, hasta la fecha, es una cuestión abierta determinar si T¿ dispone de subespacios invariantes no triviales en Lp[0,1) para cualquier irracional ¿.
El objetivo principal de esta Tesis Doctoral es analizar la existencia de subespacios invariantes para todos los operadores de Bishop. En aras de una mejor comprensión, la memoria se ha dividido en dos partes bien diferenciadas. La primera parte está dedicada a introducir los preliminares necesarios (Capítulo 1); mientras que, en la segunda parte se detallarán las contribuciones más relevantes realizadas por el autor en dicho problema (Capítulos 2-5).
Al comienzo del Capítulo 2, demostramos que todos los operadores de Bishop son bicuasitriangulares, concluyendo por tanto que deben ser el límite (en la topología fuerte) de operadores nilpotentes. Posteriormente, mediante estimaciones aritméticas precisas y junto con un teorema clásico de Atzmon, extendemos considerablemente el conjunto de los irracionales ¿ tales que el operador de Bishop asociado T¿ posee subespacios invariantes; mejorando los resultados previos conocidos de Davie y Flattot. De hecho, en el Capítulo 3, establecemos el límite de las técnicas basadas en el Teorema de Atzmon en este contexto.
Posteriormente, en el Cap\'{i}tulo 4, con la ayuda de algunos resultados de Teoría Ergódica, probamos que una amplia gama de operadores de traslación con pesos (entre ellos, los operadores de Bishop) son power-regular, calculando el valor exacto de sus radios espectrales locales. Como consecuencia, deducimos que ciertas descomposiciones espectrales no pueden darse para ningún operador de Bishop. Además, caracterizamos aquellas propiedades espectrales locales satisfechas simultáneamente por todos los operadores T¿, independientemente del irracional ¿. En cierto sentido, esto parece indicar que los operadores de Bishop podrían carecer de un comporamiento espectral verdaderamente útil, ya que por ejemplo, nunca son descomponibles.
Finalmente, en el Capítulo 5, generalizamos el Teorema de Atzmon mediante la aplicación de modelos funcionales más débiles, los cuales permitirán construir subespacios invariantes a partir de variedades espectrales locales. Nuestra estrategia combina propiedades inherentes a las particiones de la unidad con un cálculo funcional para producir descomposiciones espectrales no nulas. En particular, en el caso concreto de los operadores de Bishop, demostramos la existencia de subespacios espectrales no triviales para cada T¿ que verifique las hipótesis del Teorema de Atzmon, proporcionando descomposiciones espectrales locales no triviales para tales T¿.
