Extension of isometries and the mazur- ulam property

• Autores: María de Nazaret Cueto Avellaneda
• Directores de la Tesis: Antonio Miguel Peralta Pereira (dir. tes.)
• Lectura: En la Universidad de Almería ( España ) en 2020
• Idioma: inglés
• Número de páginas: 277
• Títulos paralelos:
  • Extensión de isometrías y la propiedad de Mazur–Ulam
• Tribunal Calificador de la Tesis: Lajos Molnár (presid.) , Antonio Jiménez Vargas (secret.) , Dijana Ilisevic (voc.) , Mostafa Mbekhta (voc.) , Maribel Ramírez Álvarez (voc.)
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  • Tesis en acceso abierto en: riUAL
• Resumen

  • El trabajo que refleja la presente memoria supone el compendio de cinco artículos de investigación, cuyo hilo conductor es el estudio de los problemas de extensión de isometrías entre subconjuntos remarcables de dos espacios de Banach.

    Explorar qué parte de la estructura algebraica de un espacio de Banach está determinada por la estructura del espacio métrico subyacente resulta una tarea de indudable interés. La motivación para abordar esta clase de problemas se remonta al famoso Teorema de Mazur-Ulam, enunciado en 1932 y que afirma que toda isometría sobreyectiva entre dos espacios normados reales es una aplicación afín. En consecuencia, la estructura lineal de dichos espacios está preservada por la estructura métrica de los mismos.

    De entre las muchas generalizaciones del Teorema de Mazur-Ulam, destaca la establecida por P. Mankiewicz en 1972 en la que se prueba que toda isometría sobreyectiva entre las bolas cerradas unidad de dos espacios normados reales X e Y admite una (única) extensión a una isometría R-lineal y sobreyectiva entre X e Y. Informalmente hablando, P. Mankiewicz prueba que toda la información genética de un espacio normado se aloja en su bola cerrada unidad.

    En esta misma línea de pensamiento, D. Tingley escoge intuitivamente la esfera unidad para reemplazar a la bola cerrada unidad en el teorema de Mankiewicz y plantea en uno de sus artículos lo que hoy conocemos como el problema de Tingley: Problema de Tingley (1987) Sean X e Y dos espacios de Banach. Supongamos que Δ es una isometría sobreyectiva de la esfera unidad de X en la esfera unidad de Y. ¿Existe una isometría sobreyectiva R-lineal T de X en Y tal que Δ(x)=T(x) para todo x en la esfera unidad de X? En otras palabras, ¿es toda isometría sobreyectiva entre las esferas unidad de dos espacios de Banach la restricción a la esfera unidad de una isometría sobreyectiva R-lineal entre los espacios? La simplicidad del enunciado del problema de Tingley esconde una ardua cuestión que permanece abierta incluso para dos espacios de Banach de dimensión dos. A pesar de todo, numerosas respuestas positivas han sido proporcionadas en espacios concretos. Destacan en esta primera etapa las contribuciones de G.G. Ding y sus estudiantes, entre las que se incluyen espacios clásicos como X e Y siendo espacios de Hilbert, espacios de sucesiones o espacios de funciones continuas.

    Con el respaldo de las numerosas respuestas positivas al problema de Tingley en espacios concretos, L. Cheng y Y. Dong introducen en 2011 la propiedad de Mazur-Ulam:

    Propiedad de Mazur-Ulam (2011) Un espacio de Banach X satisface la propiedad de Mazur-Ulam si para cualquier espacio de Banach Y, toda isometría sobreyectiva entre las esferas unidad de X e Y es la restricción a la esfera unidad de una isometría R-lineal y sobreyectiva entre X e Y.

    Es claro que dicha propiedad está íntimamente relacionada con el problema de Tingley. De hecho, puede reformularse como sigue: un espacio de Banach X posee la propiedad de Mazur-Ulam si el problema de Tingley asociado al mismo admite una respuesta positiva para toda isometría sobreyectiva entre la esfera unidad de X y la esfera unidad de cualquier espacio de Banach Y. Muchos de los resultados obtenidos para el problema de Tingley determinan en realidad espacios de Banach con la propiedad de Mazur-Ulam. Es el caso del espacio de sucesiones de números reales que convergen a cero, el espacio de funciones acotadas y R-valuadas en un espacio discreto, el espacio de las funciones continuas R-valuadas definidas en un espacio compacto de Hausdorff y los espacios de funciones medibles R-valuadas en un espacio de medida sigma-finito.

    Tanto el problema de Tingley, como su generalización en la propiedad de Mazur-Ulam suponen áreas de investigación actualmente muy activas, con contribuciones de matemáticos como R. Tanaka, A.M. Peralta, F.J. Fernández-Polo, D. Tan, M. Mori, N. Ozawa, L. Molnár, O. Hatori, V. Kadets, M. Martín o J. Cabello-Sánchez, entre otros.

    La presente tesis aporta nuevos ejemplos de espacios de Banach con la propiedad de Mazur-Ulam. Más concretamente, probamos que toda álgebra de von Neumann conmutativa, todo JBW*-triple (de rango uno, o mayor o igual que tres) y el espacio de todas las funciones continuas definidas en un espacio compacto de Hausdorff que toman valores en un espacio de Hilbert real o complejo, satisface la propiedad de Mazur-Ulam.

    Los problemas de extensión isométrica se prestan a numerosas variaciones de forma natural. Una de ellas es la planteada por L. Molnár y O. Hatori al trabajar con C*-álgebras unitales, en la que se sustituyen las esferas unidad por el conjunto de los elementos unitarios en el problema de Tingley. Los autores prueban que dos C*-álgebras unitales cuyos grupos unitarios son isométricos son necesariamente Jordan *-isomorfas, y especifican una descripción completa de dicha isometría en los unitarios de la forma exp(ih) para cualquier h hermítico. En el caso de las álgebras de von Neumann, dado que todo unitario es de la forma anterior, dicho teorema supone una respuesta positiva al problema de Tingley modificado.

    Puesto que las técnicas utilizadas por L. Mólnar y O. Hatori no son compatibles con estructuras de Jordan, en esta tesis nosotros exponemos versiones Jordan de las mismas. Para ello se han desarrollado herramientas totalmente novedosas en este ambiente, como el teorema de Stone para grupos uniparamétricos en JB*-álgebras. Como resultado, establecemos un teorema del tipo Hatori-Molnár para JB*-álgebras unitales y resolvemos el problema de Tingley modificado para JBW*-álgebras.

    Una de las estrategias empleadas para resolver los problemas de extensión isométrica es la llamada propiedad fuerte de Mankiewicz, introducida recientemente por M. Mori y N. Ozawa. Diremos que un subconjunto convexo C de un espacio normado X satisface la propiedad fuerte de Mankiewicz si para toda isometría sobreyectiva de C a otro subconjunto convexo L de un espacio normado Y es afín. Utilizando teoremas del tipo Krein-Milman, o del tipo Russo-Dye cuando la noción de elemento unitario tiene sentido, contribuimos a esta línea de investigación al probar que todo JBW*-triple y el espacio de todas las funciones continuas definidas en un espacio compacto de Hausdorff que toman valores en un espacio de Hilbert real o complejo de dimensión mayor estricta que uno, así como algunos subtriples de este último espacio, poseen la propiedad fuerte de Mankiewicz.

    Otra cuestión paralela tratada es la estructura facial de los JB*-triples, iniciada en 1988 por C.M. Edwards y G.T. Rüttimann. Dichos autores proporcionan una descripción de las caras débil*-cerradas de la bola unidad cerrada de un JBW*-triple. También exploran las caras norma-cerradas de la bola cerrada unidad de su predual. En ambos casos se establece una correspondencia bi-unívoca entre el conjunto de los tripotentes de un JBW*-triple y las caras. Una correspondencia análoga es establecida por los mismos autores en 2001 para JBW*-triples reales. No es hasta el año 2010 cuando se concluye, de la mano de C.M. Edwards, C.S. Hoskin, F.J. Fernández-Polo y A.M. Peralta, el estudio de la estructura facial de la bola cerrada unidad de un JB*-triple arbitrario y su dual, mediante una correspondiencia entre los tripotentes compactos y las caras. En esta tesis contribuimos a estos temas desde dos perspectivas: por una parte distinguimos topológicamente aquellas caras del bidual de un JB*-triple asociadas a un tripotente compacto de aquellas asociadas a un tripotente no compacto, mediante el concepto de cara abierta relativa. Por otra parte culminamos el estudio de la estructura facial en JB*-triples después de más de treinta años con la descripción de las caras norma-cerradas de la bola cerrada unidad de un JB*-triple real y las caras débil*-cerradas de la bola cerrada unidad de su dual.

    Adicionalmente, establecemos una caracterización de aquellos puntos extremos de la bola cerrada unidad de una JB*-álgebra unital que son elementos unitarios. Dicha caracterización generaliza la enunciada por M. Mori para C*-álgebras unitales y tiene como ventaja frente a las ya existentes en ambiente Jordan que evita trabajar con espacios duales. Al contrario, resuelve el problema como una mera cuestión métrica.