Resumen de Study of damage and remodelling models for bone tissue: Resolution with numerical methods
- español
Las propiedades mecánicas de los huesos son complejas y se pueden estudiar desde dos puntos de vista: el macroscópico y el microscópico. Las propiedades macroscópicas se modelan fenomenológicamente, mientras que las dinámicas microscópicas vienen dadas por las relaciones entre conjuntos de células. Esta tesis comprende una serie de investigaciones donde estudiamos modelos matmeáticos relacionados con el daño y con la remodelación ósea. Exploramos tanto los aspectos biomecánicos del daño y de la remodelación ósea desde el punto de vista macroscópico como los modelos de poblaciones de células.
En la parte microscópica, desarrollamos un nuevo modelo que acopla los efectos de daño y remodelación ósea. La remodelación ósea es crucial para mantener la integridad del esqueleto a lo largo de nuestras vidas, ya que es necesaria para reparar el daño que aparece en las actividades cotidianas. Sin embargo, este acoplamiento entre ambos efectos no ha sido estudiado en profundidad. En esta tesis, lo primero que estudiamos es el modelo de daño propuesto por Frémond y Nedjar en 1996, para mostrar sus posibilidades en el modelado de tejido óseo. Después, presentamos su acoplamiento con el reconocido modelo de Weinans Huiskes y Grootemboer (1992). En ambos casos presentamos la formulación variacional de los modelos y una aproximación discreta de las soluciones por el método de elementos finitos. También llevamos a cabo análisis numéricos para obtener la convergencia de la solución discreta.
En la segunda parte de la tesis estudiamos modelos microscópicos que reproducen el fenómeno de remodelación a nivel celular. Aunque la mayoría de estos modelos solamente tienen en cuenta efectos temporales, estudiamos el modelo espacio-temporal propuesto por Ayati y col. y mostramos una aproximación discreta de la solución. También proponemos una nueva extensión espacial del modelo temporal desarrollado por Graham y col. Finalmente, estudiamos un modelo de oseointegración de Moreo, García-Aznar y Doblaré, relevante para el comportamiento de implantes. Todos estos estudios incluyen un análisis numérico de la convergencia de las soluciones.
- English
The mechanical properties of vertebrate bone are complex, and they can be studied at two different scales: macroscopic and microscopic. The macroscopic properties are modelled phenomenologically while the microscopic dynamics are determined by cell populations. This thesis comprises a series of researches where we study mathematical models related to damage and remodelling in bone tissue. We explore both the biomechanical aspects of damage and remodelling from the macroscopic point of view and the microscopic models for cell populations. In the macroscopic part, we develop a novel model that couples damage and bone remodelling effects. Bone remodelling is crucial in order to maintain the integrity of the skeleton through our lives, since it is necessary to repair the damage that appears on our day-to-day activities. However, their coupling had not yet been deeply studied. In this thesis, the first thing we study is the damage model proposed by Frémond and Nedjar in 1996 so as to show its capabilities of modelling bone damage. Then, we present its coupling with the well-known ...
