Resumen de Comportamiento para tiempos grandes en difusión local y no local.
Alejandro Garriz Molina
El objetivo de esta tesis es estudiar diversos modelos de difusión, tanto locales como no-locales, prestando especial atención al comportamiento de sus soluciones para tiempos grandes.
En el caso local estudiamos una familia de ecuaciones de difusión-reacción que presentan un carácter doblemente no lineal debido a la presencia de los operadores p-laplaciano y de los medios porosos. Consideraremos el régimen conocido como "de difusión lenta", en el cual las soluciones con datos iniciales de soporte compacto mantienen este soporte en cualquier tiempo posterior. Para algunos resultados también requeriremos que p sea mayor que 2 para evitar posibles comportamientos singulares lejos del valor 0.
Primero mostraremos como los problemas de esta familia poseen soluciones de tipo onda viajera con frente finito. Además, presentaremos un amplio estudio sobre las ondas viajeras en las ecuaciones de difusión-convección-reacción usando un método basado en ecuaciones integrales singulares de Volterra. Nuestros resultados extienden los de B. Gilding para el caso p=2, pero el hecho de que p no sea 2 modifica la naturaleza de la singularidad en la ecuación integral e introduce la necesidad de desarrollar nuevas herramientas para el análisis.
A continuación, cuando el dato inicial es acotado, radialmente simétrico y de soporte compacto, probaremos que las soluciones que converjan a 1 (que existen, como veremos, para todas las reacciones consideradas y para una amplia gama de datos iniciales) lo hacen aproximándose a una traslación de esta única onda viajera en cualquier dirección, pero con una corrección logarítmica en la posición de la frontera. Una de las principales herramientas, de interés propio, en este estudio es una estimación para el flujo. Aprovechamos para señalar que la mayoría de nuestros resultados son nuevos incluso para los casos particulares de la Ecuación de los Medios Porosos y la Ecuación de Evolución con el $p$-laplaciano.
En el caso no-local presentamos dos nuevos modelos basados en la idea del \textit{acoplamiento de operadores} provenientes de un flujo gradiente. Para el primero vamos a probar existencia, unicidad y varias cualidades de las soluciones de ecuaciones de evolución que combinan operadores de difusión locales (calor) y no-locales (convolución con un núcleo de probabilidad) actuando en diferentes subdominios. Tratamos los problemas de Cauchy, Dirichlet y Neumann, en los dos últimos casos con dato de frontera cero. También estudiamos velocidades de decaimiento de las soluciones para tiempos grandes y mostramos cómo podemos recuperar la Ecuación del Calor tradicional en un paso al límite en el que re-escalamos el núcleo no-local de un modo apropiado.
El segundo modelo involucra tres laplacianos fraccionarios diferentes actuando sobre dos dominios. Cada dominio tiene un operador asociado que rige la difusión en él, y el tercer operador sirve para acoplar ambos modelos. Estudiaremos, principalmente, el comportamiento asintótico de las soluciones del problema cuando los dominios son una bola y su complementario, pero también ofrecemos el decaimiento de las normas L^p de las soluciones. Unas útiles desigualdades de Sobolev y Nash en dominios exteriores serán probadas también.
