Resumen de Dualidad para ideales de operadores Lipschitz
Maria de Gador Cabrera Padilla
La publicación a lo largo de la primera mitad del siglo XX de las obras de Schatten y von Neumann, recopiladas en el conocido libro del primer autor A Theory of Cross-Spaces (1950), y la aparición de las revolucionarias ideas de Grothendieck en el estudio de los productos tensoriales, recogidas en su tesis Produits tensoriels et espaces nucléaires (1955) y en el artículo Résumé de la théorie métrique des produits tensoriels topologiques (1953), supone el inicio de una nueva teoría que permite establecer conexiones entre una determinada norma definida sobre el producto tensorial de dos espacios de Banach y un cierto subespacio de operadores lineales y continuos que presenta la estructura de ideal, de modo que el dual de la completación del primero pueda identificarse con el segundo.
Estrechamente relacionada con la investigación anterior, a lo largo de los años se ha generado una amplia literatura sobre ideales en la que no solamente se han abordado distintas clases de ideales de operadores lineales y continuos, sino que también encontramos trabajos cuyo principal objetivo es la obtención de versiones no lineales tanto de operadores como de resultados clásicos. En 2009 Farmer y Johnson presentan a los operadores Lipschitz p-sumantes (1≤p≤∞), iniciándose así la investigación de versiones lipschitzianas de ideales de operadores lineales y continuos, labor que continúa aun en nuestros días.
Estos dos hechos, nos han llevado a plantearnos la posibilidad de desarrollar una teoría de dualidad que nos permita encontrar una relación, similar a la mencionada anteriormente, entre el dual de un nuevo tipo de producto tensorial equipado con una norma adecuada, y un subespacio del espacio de los operadores Lipschitz que satisface una cierta propiedad de ideal.
Con este objetivo en mente, presentaremos la noción de producto tensorial Lipschitz de un espacio métrico punteado y un espacio de Banach, del cual estudiaremos sus propiedades básicas y sus similitudes con el producto tensorial algebraico. Sobre él, definiremos las normas cruzadas Lipschitz, y mostraremos las clases con las que trabajaremos normalmente: la normas cruzadas Lipschitz dualizables y las normas cruzadas Lipschitz uniformes. De entre ellas, destacaremos las dos más importantes: la norma cruzada Lipschitz dualizable más pequeña, a la que denominaremos norma Lipschitz inyectiva, y la mayor norma cruzada Lipschitz, que recibirá el nombre de norma Lipschitz proyectiva. Estas normas serán de utilidad para caracterizar a las normas cruzadas Lipschitz dualizables definidas sobre el producto tensorial Lipschitz.
Estudiaremos también las distintas versiones lipschitzianas de operadores lineales y continuos, así como las relaciones entre ellos, y daremos los primeros pasos en el desarrollo de la teoría de dualidad estudiando la clase de operadores Lipschitz que se corresponde con el dual del producto tensorial Lipschitz inyectivo utilizando, como principal herramienta, la identificación que se puede hacer de este con el producto tensorial inyectivo a través del espacio libre de Lipschitz.
Siguiendo los razonamientos de Schatten y von Neumann, definiremos a los operadores Lipschitz de norma cruzada de un espacio métrico punteado X en el dual de un espacio de Banach E, cuyo espacio formado por ellos será denotado por Lip(X,E*), y obtendremos uno de los resultados principales de esta memoria: el dual de la completación del producto tensorial de X y E, dotado con una norma cruzada Lipschitz , puede identificarse con el espacio Lip(X,E*). Además, daremos condiciones necesarias y suficientes sobre la norma cruzada Lipschitz para que Lip(X,E*) sea o bien un ideal de Banach de operadores Lipschitz o bien un espacio de Banach de operadores Lipschitz.
Finalmente, proporcionaremos una teoría local, en el espíritu de la presentada por Grothendieck en su Résumé, que nos permitirá obtener la teoría de dualidad que buscamos para el caso en que el espacio en el cual los operadores Lipschitz toman valores no sea necesariamente un espacio de Banach dual y para considerar cualquier par (X,E) de espacio métrico punteado y espacio de Banach, presentando así las versiones genéricas de las normas cruzadas Lipschitz y de los ideales de Banach de operadores Lipschitz, así como un método de extensión cuyo origen se encuentra en el procedimiento de la envoltura finita.
