Resumen de Long time control with applications

Dario Pighin

• español

  Esta tesis concierne el estudio de algunos problemas de control en un largo horizonte temporal.

  La primera parte de la tesis está dedicada a la controlabilidad de Ecuaciones en Derivadas Parciales bajo restricciones de estado y/o control. En el capítulo 4, abordamos la controlabilidad bajo restricciones de positividad para la ecuación del calor semilineal. En primer lugar, obtenemos la controlabilidad entre estados estacionarios, mediante el uso de un ``stair-case argument''. Luego, suponiendo disipatividad en la dinámica libre, extendemos nuestro resultado anterior a la controlabilidad bajo restricciones hacia trayectorias. En cualquier caso, los targets deben definirse mediante controles positivos. Ademas, probamos la positividad del tiempo mínimo de controlabilidad bajo restricciones de positividad, mediante la aplicación de un nuevo método, basado en la elección de una función test particular en la definición de solucione débil para la ecuación de evolución. Por lo tanto, a pesar de la velocidad infinita de propagación para las ecuaciones parabólicas, se produce un fenómeno de tiempo de espera en el caso restringido.

  En el capítulo 5, la controlabilidad bajo restricciones de positividad se analiza para la ecuación de ondas. En este caso, el estado cero es alcanzable por controles positivos. En el capítulo 6, obtenemos un resultado de turnpike global para un problema de control optimo, sujeto a una ecuación del calor semilineal. En este caso, requerimos que el target en el funcional de coste sea pequeño, mientras que el dato inicial para la ecuación de evolución se puede elegir arbitrariamente. Esto se realiza combinando los resultados locales disponibles en [116, 137], con una estimación de la norma L1 para los optimos (uniforme en el horizonte temporal) y una estimación del tiempo necesario para acercarse al turnpike. Para el caso de target grande, damos un ejemplo, donde el problema estacionario admite (al menos) dos soluciones (capítulo 7). En el capítulo 8, presentamos una aplicación de la teoría de estabilización/turnpike a un problema de equilibrio para un rotor

• English

  This thesis is concerned with the study of some control problems in a large time horizon.

  The first part of the thesis is devoted to controllability of Partial Differential Equations under state and/or control constraints. In chapter 4, we address the controllability under positivity constraints of semilinear heat equations. We firstly obtain steady state controllability, by employing a ``stair-case argument''. Then, supposing dissipativity of the free dynamics, we extend our previous result to constrained controllability to trajectories. In any case, the targets must be defined by positive controls. We prove further the positivity of the minimal controllability time under positivity constraints, by applying a new method, based on the choice of a particular test function in the definition of weak solutions to evolution equations. Hence, despite the infinite velocity of propagation for parabolic equations, a waiting time phenomenon occurs in the constrained case. In chapter 5, controllability under positivity constraints is analyzed for wave equations. In this case, the zero state is reachable, by nonnegative controls.

  In chapter 6, we get a global turnpike result for an optimal control problem, governed by a semilinear heat equation. The running target in the cost functional is required to be small, whereas the initial datum for the evolution equation can be chosen arbitrarily. This is done by combining the available local results [116, 137], with an estimate of the L1 norm of the optima (uniform in the time horizon) and an estimate of the time needed to get close to the turnpike.

  If the target is large, we produce an example, where the steady problem admits (at least) two solutions (chapter 7). In chapter 8, we present an application of stabilization/turnpike theory to a problem of rotor balancing