Limit cycles of small amplitude in polynomial and piecewise polynomial planar vector fields

• Autores: Luiz Fernando da Silva Gouveia
• Directores de la Tesis: Joan Torregrosa Arús (dir. tes.)
• Lectura: En la Universitat Autònoma de Barcelona ( España ) en 2020
• Idioma: español
• Tribunal Calificador de la Tesis: Rafel Jaume Prohens Sastre (presid.) , Fernando Fernández Sánchez (secret.) , Claudio Gomes Pessoa (voc.)
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• Resumen

  • David Hilbert en el año 1900, en el Congreso Internacional de Matemáticas, propuso 23 problemas que, en su opinión, motivarían los avances en matemáticas durante el siglo XX. Entre estos problemas, uno está relacionado con el estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias. El problema 16 de Hilbert, cuya segunda parte pregunta por el número máximo y la posición relativa de las órbitas periódicas aisladas, también conocidas como ciclos límite, de un sistema polinomial plano en función de su grado $n$. A día de hoy, el problema número 16 de Hilbert sigue sin resolverse. Con el paso de los años y sin una solución, han surgido versiones más débiles. Aquí estamos interesados en una de ellas, que consiste en proporcionar el número máximo $M(n)$ de ciclos límite de amplitud pequeña que bifurcan desde un centro o un foco débil elementales.

    Para ayudar a resolver este problema, nuestra contribución en esta tesis es ofrecer un mecanismo que simplifique el cálculo de los desarrollos de Taylor de las constantes de Lyapunov y presentar una teoría que nos ayude a usar las constantes obtenidas para el sistema diferencial clásico para estudiar nuevas cotas inferiores para $M(n)$. Dedicamos parte de este trabajo a estudiar el mismo problema en los sistemas polinomials definidos a trozos. En este trabajo, consideramos campos de vectores fijos y presentamos la herramienta de paralelización que nos ayudará a calcular desarrollos de Taylor de alto orden para las constantes de Lyapunov cerca de un centro no lineal y obtener algunos resultados sobre cómo obtener ciclos límite utilizando estos desarrollos. Además, para una familia de campos vectoriales, presentamos un resultado que nos permite obtener $k$ ciclos límite adicionales si el sistema no perturbado tiene un centro que tiene $k$ parámetros libres. Para los sistemas definidos a trozos, consideramos nuevamente campos vectoriales fijos y, usando la paralelización, podemos calcular las constantes de Lyapunov necesarias para, en los sistemas cúbicos y cuárticos, mejorar las cotas inferiores conocidas para el número de ciclos límite de pequeña amplitud. Probamos que $M(3)$ y $M(4)$ son mayores o iguales que $12$ y $21$, respectivamente. Además, demostramos que si un sistema analítico a trozos tiene un foco débil de orden $2n+1$, podemos desplegar el número total de ciclos límite perturbando en la clase de campos analíticos definidos en dos zonas. Este resultado es una extensión natural del resultado clásico mostrado por Andronov para sistemas analíticos. Además, utilizando la equivalencia entre las constantes de Lyapunov y las funciones de Melnikov, mejoramos también las cotas inferiores para la ciclicidad local en los campos polinomiales de grado seis.