Compactifications of actions on products of cat(-1) spaces

• Autores: María Teresa García Gálvez
• Directores de la Tesis: Joan Porti (dir. tes.)
• Lectura: En la Universitat Autònoma de Barcelona ( España ) en 2018
• Idioma: español
• Tribunal Calificador de la Tesis: Athanase Papadopoulos (presid.) , Gil Solanes Farrés (secret.) , Luis Guijaro Santamaria (voc.)
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• Resumen

  • La acción de un grupo discreto de isometrías en la frontera visual de un espacio CAT(-1) propio tiene una descomposición dinámica en términos del conjunto límite y su complementario, el dominio de discontinuidad, que es el mayor abierto de la frontera donde la acción del grupo es propiamente discontinua. Si el grupo es además cuasi-convexo, el dominio de discontinuidad compactifica la acción.

    Para espacios CAT(0) esta descomposición dinámica de la frontera visual puede no existir. Este es el caso, por ejemplo, del producto de dos espacios CAT(-1), que no es un espacio CAT(-1) sino CAT(0). La frontera visual del producto es la compactificación por horofunciones respecto a la métrica producto usual. No obstante, en un producto hay otras métricas posibles que son topológicamente comparables a la métrica producto. En esta tesis exploramos acciones en la compactificación por horofunciones respecto a la métrica del máximo del producto de dos espacios CAT(-1) propios.

    Para el caso de una acción diagonal, la compactificación del máximo resulta ser muy conveniente. El teorema principal de esta tesis es que existe un abierto de la frontera ideal en la compactificación del máximo tal que la acción diagonal de un grupo cuasi-convexo de las isometrías en este abierto es propiamente discontinua y cocompacta. Además, este subconjunto es el abierto más grande la frontera ideal donde la acción es propiamente discontinua y cocompacta. Cuando el grupo es cocompacto este conjunto es de hecho el conjunto de las geodésicas parametrizadas de un factor.

    Estudiamos también en qué otros casos la compactificación del máximo puede ser útil. Para un grupo hiperbólico infinito, consideramos dos representaciones cuasi-convexas en las isometrías de dos espacios CAT(-1) propios diferentes y su acción producto. Vemos que el conjunto límite grande de esta acción está en la parte regular si y sólo si las representaciones son coarse-equivalentes. Si además las representaciones son cocompactas vemos que también hay un abierto de la frontera ideal que compactifica la acción.

    Aunque en este trabajo nos centramos básicamente en el estudio de la compactificación del máximo, también exploramos qué pasa con la métrica l1. Para esta métrica también es posible encontrar dominios de discontinuidad y cocompacidad para la acción producto. Comparamos las dos compactificaciones para algunos ejemplos concretos.