Resumen de Códigos hadamard z2s-lineales y su clasificación vía el rango y el núcleo
Carlos Vela Cabello
Los códigos Z2s-aditivos son subgrupos del anillo Z2s y pueden considerarse como una generalización de los códigos lineales sobre Z2 y Z4. Se llama código Hadamard Z2s-lineal a un código binario Hadamard que es la imagen, vía la aplicación de Gray, de uno Z2s-aditivo. Está demostrado que para dar una clasificación completa de los códigos Hadamard Z4-lineales se puede usar el rango o la dimensión del núcleo.
El objetivo de esta tesis es clasificar la familia de los códigos Hadamard Z2s-lineales obtenida a través de la aplicación de Gray generalizada definida por Carlet, usando el rango y la dimensión del núcleo. Primero, damos una construcción recursiva de las matrices generadoras de los códigos Hadamard aditivos sobre Z2s correspondientes. Gracias a esta construcción, damos una demostración nueva de que las imágenes, vía la aplicación de Gray generalizada, de los códigos generados son Hadamard. Construimos el núcleo de los códigos Hadamard Z2s-lineales de longitud 2^t para s>2 , obtenemos su dimensión y la usamos para obtener una clasificación parcial de estos códigos.
A continuación, damos el rango de estos códigos para s=3 y demostramos que, junto con la dimensión del núcleo, podemos obtener una clasificación completa de los códigos Hadamard Z8-lineales, fijando t>2. También, para s=3, establecemos la cantidad exacta de códigos no equivalentes de este tipo. Por último, probamos que algunas familias de códigos Hadamard Z2s-lineales de longitud 2^t son equivalentes fijando t>2. Esto nos permite mejorar los resultados anteriores relacionados con la clasificación parcial. También damos cotas superiores e inferiores para la cantidad de códigos Hadamard Z2s-lineales no equivalentes de longitud 2^t. Más aún, calculamos la cantidad exacta de códigos no equivalentes hasta t=11.
