Resumen de Modelos de oscilaciones caóticas en superredes semiconductoras a temperatura ambiente

Emanuel Gastón Mompó Pavesi

• #================================# Un poco de contexto...

  #================================# Hoy día podemos hallar diversas aplicaciones tecnológicas que dependen de la generación de números aleatorios: almacenamiento y transmisión segura de información, juegos de azar electrónicos, y simulaciones estocásticas, entre otras. Los dos tipos de generadores de números aleatorios más comunes son:

  1) Algoritmos deterministas, como "Mersenne twister", que tienen una tasa de creación muy alta pero los números creados no son aleatorios, mas bien, pseudoaleatorios.

  2) Fuentes clásicas de entropía física, como variaciones en la temperatura o la radiactividad, cuya aleatoriedad es pura, pero la tasa de creación de números aleatorios es baja.

  Como se aprecia, ninguno de estos tipos de generador cumple al mismo tiempo tener una alta tasa de generación y ser una fuente puramente aleatoria. Por ello es de interés disponer de dispositivos, o sistemas físicos, que verifiquen ambas condiciones. Un buen candidato son las superredes semiconductoras, pues son sistemas de funcionamiento completamente electrónico, fácilmente integrables en un circuito, y que, además, pueden funcionar a temperatura ambiente.

  #================================# Superredes semiconductoras #================================# Una superred semiconductora es un tipo de cristal artificial cuya estructura alterna periódicamente dos, o más, materiales semiconductores diferentes. Esta estructura está compuesta por capas de varios nanómetros de espesor. Al estar intercalándose capas de diferentes semiconductores, las bandas de conducción y de valencia, así como los niveles de energía prohibidos entre ambas bandas, a su vez también se alternarán. Esto nos permite interpretar las superredes semiconductoras como una sucesión periódica casi unidimensional de pozos y barreras de potencial. En este trabajo se estudian, concretamente, superredes que alternan dos materiales: arseniuro de galio y arseniuro de galio-aluminio [16,15,18].

  Las superredes semiconductoras de dos materiales alternados fueron propuestas en el año 1970 por Esaki y Tsu [13], con el objetivo de observar macroscópicamente ciertos fenómenos microscópicos, como las oscilaciones de Bloch [4]. Suceso que se realiza posteriormente [17,20]. Adicionalmente, las superredes han adquirido interés por sus posibilidades tecnológicas, como lo pueden ser la generación de oscilaciones de alta frecuencia [15] o la producción de números aleatorios con una alta tasa de creación [18], posible a las oscilaciones caóticas de la corriente que pueden ser observadas en superredes [10,11,19,12].

  Podemos distinguir, grosso modo, dos tipos de superred semiconductora según la longitud de las barreras. Cuando la longitud de onda del electrón es mucho mayor que las barreras, se denominan superredes fuertemente acopladas y los electrones se desplazan por transporte por minibanda [9,7]. En el extremo opuesto se hallan las superredes débilmente acopladas, donde las barreras son más largas que la longitud de onda típica del electrón. En éstas, que son en las que se centra este trabajo, el trasporte electrónico en presencia de un campo eléctrico se basará en el efecto túnel resonante secuencial [8,5].

  Dependiendo de la configuración de una superred, como la densidad de dopaje, temperatura, entre otros, la corriente a través de una superred así como el perfil del campo eléctrico dentro de ésta pueden mostrar una gran variedad de fenómenos de origen no lineal: formación de dominios estacionarios del campo eléctrico [2], oscilaciones autosostenidas de la corriente [5,15], o comportamiento caótico [18].

  Una característica muy importante de las superredes, independientemente del tipo que sean, es lo que se conoce como conductividad diferencial negativa, que es la derivada de la corriente respecto al campo o al potencial eléctrico aplicado. Ésta queda evidenciada cuando la corriente a través de la superred deja de incrementar con el voltaje aplicado (que previamente se comporta como una ley de Ohm), alcanzando un máximo local, y decreciendo a partir del mismo. Este "plateau" está ligado a los comportamientos no lineales de la superred, como lo son las oscilaciones autosostenidas de la corriente, pudiendo ser periódicas o caóticas [10,11,19,12,18]. En los modelos teóricos es posible hallar más de un "plateau", lo que facilita el estudio de ciertos fenómenos como el caos. Este trabajo, sin embargo, está centrado en el primer "plateau".

  #================================# Estado del arte #================================# Inicialmente, las superredes débilmente acopladas se fabricaban alternando arseniuro de galio con arseniuro de aluminio [25] y debían operar a muy bajas temperaturas porque, de otro modo, los electrones no estarían confinados ya que podrían escapar el valle X del arseniuro de aluminio. En este tipo de superred se hallan oscilaciones de la corriente y comportamiento caótico inducidos por variaciones de voltaje o de un campo magnético [10,11].

  En [16] se propone el cambio de barrera de arseniuro de aluminio a arseniuro de galio-aluminio con una concentración de aluminio del 45 por ciento, lo que evita el escape de electrones por el valle X, y permitirá trabajar con superredes semiconductoras débilmente acopladas a temperatura ambiente.

  Posteriormente, en experimentos se halla comportamiento caótico en oscilaciones autosostenidas (es decir, no requieren variación forzada de voltaje) de alta frecuencia de la corriente a temperatura ambiente, lo que permite la generación de números aleatorios puros de alta calidad [18]. Seguidamente, se describe teóricamente [1] este comportamiento caótico en superredes ideales, potenciado por la consideración de ruido interno (fluctuaciones de la densidad de corriente túnel) como externo (ruido térmico asociado al circuito).

  Recientemente, se ha estudiado teórica y experimentalmente cómo la inclusión de ruido amplificado puede potenciar el comportamiento caótico, además de ampliar el rango de parámetros en los que se puede hallar caos [24]. Por otra parte, se ha estudiado cómo la longitud de la superred puede favorecer el caos [22]. También se ha analizado cómo pequeñas variaciones en la longitud de los pozos cuánticos puede afectar a las oscilaciones autosostenidas de la corriente, así como al comportamiento caótico [14].

  #================================# Objetivos de la tesis #================================# En este trabajo tenemos cuatro objetivos: establecimiento del modelo teórico con el que se trabajará, estudio de los efectos constructivos del ruido, estudio de la posibilidad de potenciar los efectos caóticos por diseño, y cómo puede afectar, por una parte, el ruido y, por otra, los errores de diseño al comportamiento caótico de una superred.

  En mayor detalle, los objetivos son:

  1) Presentamos el modelo propuesto en [5] que describe el transporte electrónico en superredes semiconductoras débilmente acopladas, con la adición de la posibilidad de introducir modificaciones en la estructura de la superred. Entre otras cosas, se podrá modificar la longitud de las barreras o de los pozos cuánticos, o el dopaje en estos últimos. Además, dado que estas modificaciones rompen la periodicidad ideal de la heteroestructura, se comentará cómo se deducen los niveles de energía de los pozos, al dejar de ser viable usar una aproximación basada en suponer que la energía potencial a campo aplicado nulo es espacialmente periódica, como en el modelo de Kronig-Penney [3].

  2) Estudiaremos los efectos constructivos del ruido al interaccionar con un sistema de comportamiento no lineal como lo es una superred, y complementaremos los resultados con observaciones experimentales. Dado que estudiaremos estos efectos en una superred ideal, primero se presentará una simplificación del modelo. Entonces daremos una breve explicación de qué ocurre en una superred cuando ésta produce oscilaciones en la corriente, pues será beneficioso para entender la interacción con el ruido. Seguidamente, justificaremos que una superred puede mostrar evidencias de resonancia coherente y estocástica desde el punto de vista teórico [21], que, además, está confirmado por experimentos [23]. Por último, planteamos una forma indirecta de estimar cierto parámetro (la conductividad del contacto que une la superred con el circuito) cuya medición directa no es realizable.

  3) Volveremos al modelo descrito en el objetivo 1) para analizar cómo modificaciones puntuales afectan al comportamiento general de la superred. Más específicamente, estudiamos los efectos que tiene incrementar la longitud de un pozo cuántico y variar su posición dentro de la superred. Una vez visto ésto, veremos qué ocurre al incrementar la longitud de dos pozos. En general, los cambios que se verán son análogos a la modificación de un único pozo, pero hay circunstancias concretas en las que se ve un nuevo comportamiento en la dinámica de la superred, el cual dará acceso a un régimen caótico fuerte. Con esto, propondremos una serie de indicaciones para poder reproducir las circunstancias en experimentos. Para acabar, estudiaremos la estructura de los atractores caóticos que se encuentran en un diseño concreto de superred.

  4) Estudiamos, por un lado, qué ocurre cuando las modificaciones en la estructura no son por diseño, sino por errores "de fabricación", y, por otro lado, la interacción del ruido con el caos. En lo que respecta al desorden (que lo entendemos como errores de fabricación que afectan a la longitud de los pozos), veremos cómo afecta si lo añadimos, primero, a un diseño originalmente ideal de superred y, segundo, al diseño no homogéneo mencionado en el objetivo 3). En cuanto al ruido, dados los beneficios que puede aportar al caos [1,6,22,24], comprobaremos si se obtienen resultados análogos cuando el caos es como el hallado.

  #================================# Resultados #================================# La primera conclusión que podemos extraer de este trabajo es que el modelo utilizado es flexible y relevante, pues es capaz de capturar la nueva fenomenología observada en experimentos. Hablamos, concretamente, de la resonancia estocástica que se evidencia por primera vez en superredes semiconductoras, tanto desde el punto de vista teórico como del experimental.

  La segunda conclusión que obtenemos es que la resonancia coherente no sólo es una curiosidad o un fenómeno que brinda un buen punto de partida para buscar evidencia de resonancia estocástica. Esto lo afirmamos porque hemos obtenido, por primera vez, un método indirecto, pero viable, de medir la conductividad del contacto inyector en un experimento, siempre que pueda mostrar resonancia coherente.

  Un problema de gran interés es el de potenciar el comportamiento caótico de las superredes semiconductoras débilmente acopladas homogéneas. Una forma de hacerlo es reducir el número de periodos, como se evidencia en [14]. Sin embargo las superredes se suelen fabrican con un gran número de periodos.

  La tercera conclusión a la que llegamos es que es posible potenciar el caos en una superred sin necesidad de cambiar el número de periodos con las que se fabrican, pero para ello deben alejarse bastante de la homogeneidad. Si bien modificar dos periodos para obtener los resultados que observamos no es un gran cambio, hemos comprobado que es estadísticamente improbable que una superred que, en un principio, debiese ser homogénea acabe teniendo, sólo por errores de fabricación, el tipo de configuración planteada en este trabajo.

  De manera complementaria a este último comentario, tenemos una cuarta conclusión respecto a los errores de fabricación en lo que respecta a la longitud de los pozos cuánticos. Ésta es que el desorden no es un mecanismo viable de obtención de caos si partimos de un diseño homogéneo de superred. Es más, puesto que incluso en un diseño que presenta un comportamiento caótico fuerte lo que logra el desorden es inhibir el comportamiento caótico e, incluso, el oscilatorio, concluimos algo más fuerte: El desorden es un mecanismo de inhibición del caos, y no al revés.

  La última conclusión está relacionada con el potencial uso de las superredes como generadoras robustas de números aleatorios. Aunque desconozcamos el espectro completo de exponentes de Lyapunov en las muestras de laboratorio, podemos afirmar que haber encontrado hipercaos en el diseño estudiado será un atributo a tener en cuenta de cara a ésta aplicación tecnológica. No sólo por el valor intrínseco de que el régimen caótico sea fuerte, sino también porque las oscilaciones tienen, aproximadamente y para nuestra elección concreta de las posiciones de pozos a modificar, una frecuencia que duplica a la que tendrían las oscilaciones en una superred homogénea.

  #=================================# Referencias #=================================# [1] Alvaro, M., Carretero, M., and Bonilla, L. L. (2014). Noise-enhanced spontaneous chaos in semiconductor superlattices at room temperature. Europhysics Letters, 107(3):37002.

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  [6] Bonilla, L. L., Alvaro, M., and Carretero, M. (2016). Chaos-based true random number generators. Journal of Mathematics in Industry, 7(1):1.

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  [24] Yin, Z., Song, H., Zhang, Y., Ruiz-García, M., Carretero, M., Bonilla, L. L., Biermann, K., and Grahn, H. T. (2017). Noise-enhanced chaos in a weakly coupled GaAs/(Al,Ga)As superlattice. Physical Review E, 95(1):012218.

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