Resumen de On range sobolev spaces defined by cesàro-hardy operators
Luis Sánchez Lajusticia
(Para la correcta visualización de fórmulas y lenguaje matemático, es preferible compilar el siguiente texto en un entorno adecuado de edición de TeX o LaTeX) En 1915, G. H. Hardy intentaba encontrar una demostración elemental de la desigualdad de Hilbert. La desigualdad discreta que obtuvo pudo extenderse a la siguiente desigualdad continua: $$ \int_{0}^{\infty}\left(\frac{1}{x}\int_{0}^{x}f(t)dt\right)^{p}dx \leq C_{p} \int_{0}^{\infty} f^{p}(x)dx, \qquad f\geq 0, $$ que fue enunciada en 1920 \cite{H1} y demostrada en 1925 \cite{H2}. Gran parte del desarrollo inicial de la desigualdad de Hardy puede encontrarse en el libro (clásico) \cite{HLP}, y detalles sobre su historia en ambas formas, discreta y continua, en \cite{KuMP}, por ejemplo.
Las generalizaciones y aplicaciones de esta fórmula son destacables. Muchos de los aspectos de su desarrollo pueden encontrarse en \cite{KMP}, \cite{KuMP}, \cite{KuP} y \cite{OK}.
La desigualdad $$ \left(\int_0^\infty \left|\frac{1}{t}\int_0^t f(s)ds\right|^p dt\right)^\frac{1}{p}\leq \frac{p}{p-1}\left(\int_{0}^{\infty}f^{p}(t)dt\right)^\frac{1}{p}, \leqno{(1)} $$ que se tiene para $1
De manera natural, las desigualdades (3) y (4) sugieren definir operadores acotados de $\LpRma$ en $\LpRma$, que denotaremos, para $f\in\LpRma$, por $$ \calC_\nu(f):=\frac{\nu}{t^\nu}\int_0^t (t-s)^{\nu-1}f(s) ds, \quad \hbox{ si } 1
$$ Para $\nu=1$, los operadores $\calC_1=\calC$ o $\calC_1^*=\calC^{*}$, o sus análogos discretos, han recibido diferentes nombres. Como ejemplo, son llamados operadores de Hardy en \cite{KuMP}, \cite{DS}, operadores de Cesàro en \cite{BHS}, \cite{Bo}, \cite{Mo1}, \cite{Mo2}, operadores de Copson en \cite{Mo1}, \cite {Mo2}, entre otros art\'{i}culos. Hay tambi\'{e}n versiones de los anteriores operadores en el plano complejo, incluso en el caso generalizado; v\'{e}ase \cite{AS}, \cite{LMPS}. El estudio de tales operadores se centra habitualmente en problemas sobre su acotaci\'{o}n en diversos espacios, espectro, interpolaci\'{o}n, dominio \'{o}ptimo, estudio de las isometr\'{i}as asociadas\dots (v\'{e}ase por ejemplo \cite{AP}, \cite{DS}, \cite{BS1}, \cite{BS2}). Aqu\'{i} llamaremos a $\calC_\nu$, $\calC_\nu^*$ operadores de Ces\`aro-Hardy. Estamos interesados en espacios rango de esos operadores integrales, dotados con la norma imagen de los espacios $L_p$, y centr\'{a}ndonos de forma m\'{a}s precisa en el caso Hilbert. La motivaci\'{o}n para este enfoque es doble: por un lado surge de las conexiones que estos operadores tienen con la integrodiferenciaci\'{o}n fraccionaria, y por otro lado de su relaci\'{o}n con el movimiento Browniano fraccionario o con el ruido blanco.
En el estudio de las ecuaciones abstractas de Cauchy ``mal planteadas'', es decir, cuando la soluci\'{o}n de la ecuaci\'{o}n no viene regida por un $C_0$-semigrupo, son relevantes familias como los $C$-semigrupos o los semigrupos integrados, y homomorfismos como semigrupos de distribuciones. En \cite{AK} se consideran semigrupos de distribuciones temperadas que tienen como dominios \'{a}lgebras de convoluci\'{o}n $\TT_1^{(n)}(t^n)$ -en una notaci\'{o}n diferente a la que aparece en \cite{AK}- definidas, para $n\in\NN$, como la completaci\'{o}n del espacio de funciones test $C_c^\infty(\Rma)$ en la norma $$ \Vert f\Vert_{1,(n)}:=\int_0^\infty\vert f^{(n)}(t)\vert t^n\ dt<\infty, \quad f\in C_c^\infty(\Rma). \leqno{(5)} $$ (Álgebras similares en toda la recta real $\mathbb{R}$ han sido introducidas en \cite{BE}). El \'{a}lgebra de Banach $\TT_1^{(n)}(t^n)$ admite una extensi\'{o}n a orden de derivaci\'{o}n fraccionario $\nu>0$ considerando cierta derivada fraccionaria (denotada por $W^\nu f$) en lugar de la derivada habitual $f^{(n)}$; v\'{e}anse \cite{Mi1} y \cite{GM}. Esta extensi\'{o}n, denotada por $\TT_1^{(\nu)}(t^\nu)$, es tambi\'{e}n un \'{a}lgebra de Banach de convoluci\'{o}n con numerosas aplicaciones relacionadas con c\'{a}lculos funcionales, semigrupos integrados y teor\'{i}a de cuasi multiplicadores regulares, v\'{e}ase \cite{GM}. Propiedades espec\'{i}ficas o aplicaciones de $\TT_1^{(\nu)}(t^\nu)$ como \'{a}lgebra de Banach han aparecido en numerosos art\'{i}culos, entre ellos \cite{GMR1}, \cite{GMR2}, \cite{GMS}, \cite{GS}. Si reemplazamos la norma $L_1$ de $t^{n}f^{(n)}$ por la norma $L_{p}$, con $1
Por otra parte, estas ideas se aplican en problemas abstractos de Cauchy locales, a saber, problemas del tipo $$ \begin{cases} \displaystyle{ u^\prime(t)} = A u(t)+x,\, 0\le t<\tau \\ u(0)=0\\ \end{cases} \leqno{(6)} $$ donde $A$ es un operador lineal cerrado en un espacio de Banach $X$ y $\tau>0$. Es conocido (véase \cite[Theorem 2.1]{AEK} o \cite[Theorem 3.1]{V}) que si para todo $x\in X$ el problema tiene solución única $u\in C^1([0,\, \tau), X)\cap C([0,\, \tau), D(A))$ (donde $D(A)$ se dota con la norma del grafo), entonces $A$ es el generador de un semigrupo fuertemente continuo. Esto significa que las soluciones, inicialmente obtenidas en $[0,\tau),$ admiten extensiones a $[0,\infty)$ sin pérdida de regularidad y, más aún, son (uniformemente) exponencialmente acotadas.
Resulta que el espacio $\TT_p^{(\nu)}(t^\nu)$ puede ser obtenido, de forma alternativa, como espacio rango o imagen del operador $\calC_\nu^*$ con dominio en $L_p(\Rma)$, con lo que $\calC_\nu^*$ puede ser entendido bajo el punto de vista que dan la integrodiferenciaci\'{o}n fraccionaria. Además, integrales y derivadas fraccionarias tienen aplicación en la teor\'{i}a del movimiento Browniano fractal (fBm por sus siglas en inglés) y sistemas autosimilares (v. g., \cite{FP}, \cite{Hu}, \cite{M}, \cite{SL}), con lo que los operadores de Ces\`aro-Hardy y los espacios de Hilbert que definen, es decir $\TT_2^{(\nu)}(t^\nu)$, $\nu>0$, se insertan de esta manera en esa teoría. La acci\'{o}n de la transformada de Laplace sobre $\TT_2^{(\nu)}(t^\nu)$ da lugar a un espacio de Hilbert de funciones holomorfas en el semiplano $\Cma:=\{z\in\CC:\Re z>0\}$ que admite una descripci\'{o}n sencilla y podr\'{i}a ser un modelo adecuado para tratar con el fBm de tipo Riemann-Liouville.
La estructura de la memoria de tesis es como sigue.
En el Capítulo 1 presentamos los operadores de Cesàro-Hardy $\calC_{\nu}$, $\calC_{\nu}^*$ ($\nu>0$) y los usamos para definir los espacios $\TT_p^{(\nu)}(t^\nu)$. Nos centramos en la relaci\'{o}n de estos operadores con la integrodiferenciaci\'{o}n fraccionaria y otras interesantes propiedades que tienen que ver con la transformada de Laplace $\LL$. Una herramienta \'{u}til en este contexto es la expresi\'{o}n de los operadores como una caso particular de subordinaci\'{o}n a un cierto grupo de isometr\'{i}as, $(T_{p}(t))_{t\in\RR}$.
Tras haber definido los espacios, es natural preguntarse por la acotaci\'{o}n, representaci\'{o}n como operadores resolvente y propiedades espectrales de los operadores de Ces\`{a}ro-Hardy generalizados $\calC_\nu$ y $\calC_\nu^*$ actuando en los subespacios de Sobolev $\TT^{(\nu)}_{p}(t^\nu)$. Respondemos a algunas preguntas sobre esos temas en el Cap\'{i}tulo 2, tambi\'{e}n para los espacios $\TT^{(\nu)}_{p}(|t|^\nu)$ en toda la recta $\RR$, definidos a partir de $\TT^{(\nu)}_{p}(t^\nu)$.
Despu\'{e}s, en el Cap\'{i}tulo 3, nos centramos en el caso $p=1$ y estudiamos el comportamiento del álgebra $\TT_1^{(\nu)}(t^\nu\w)$, donde $\w$ es una funci\'{o}n peso, analizando semejanzas y diferencias con el caso $L_{1}(\omega)$: damos el espectro, la transformada de Gelfand y el espacio de caracteres de $\TT_1^{(\nu)}(t^\nu\w)$ en el caso semisimple y estudiamos un \'{a}lgebra de Banach de tipo radical definida como \'{a}lgebra cociente. Describimos esta \'{u}ltima \'{a}lgebra como un \'{a}lgebra de funciones y analizamos sus ideales cerrados y derivaciones.
En el Cap\'{i}tulo 4 estudiamos el caso Hilbert, $p=2$. Resulta que $\TT_2^{(\nu)}(t^\nu)$ es un espacio de Hilbert de n\'{u}cleo reproductivo (RKHS, abreviadamente). Determinamos su n\'{u}cleo y revisamos algunos aspectos de la teor\'{i}a general de RKHS para $\TT_2^{(\nu)}(t^\nu)$, destacando una aparente relaci\'{o}n entre este espacio y los espacios que surgen asociados al movimiento Browniano fractal en teor\'{i}a de la probabilidad. Esta relaci\'{o}n se describe parcialmente en la Secci\'{o}n 4.2, en conexi\'{o}n con el c\'{a}lculo fraccionario de Riemann-Liouville.
Para $1\leq p <\infty$, los espacios $H_p^{(\nu)}(\Cma)$ de funciones holomorfas en $\Cma$, versiones complejas de los espacios $\TT_p^{(\nu)}(t^\nu)$, se definen en la Secci\'{o}n 4.3. Para ello es necesaria una forma compleja del c\'{a}lculo fraccionario, y esto se consigue a trav\'{e}s de la expresi\'{o}n del operador $\frC_\nu^*$ subordinado al grupo $T_p(t)$. De manera formal, reemplazando las derivadas fraccionarias reales por derivadas fraccionarias complejas, los espacios $\TT_p^{(\nu)}(t^\nu)$ y $H_p^{(\nu)}(\Cma)$ pueden identificarse. M\'{a}s a\'{u}n, para $p=2$ hay una correspondencia de tipo Paley-Wiener en el sentido en que $\LL(\TT_2^{(\nu)}(t^\nu))=H_2^{(\nu)}(\Cma)$ donde $\LL$ es la transformada de Laplace. De hecho, $H_2^{(\nu)}(\Cma)$ es un RKHS no s\'{o}lo para $\nu>1/2$ sino para todo $\nu>0$, y su n\'{u}cleo reproductivo $K_\nu$ puede expresarse en forma integral. El resultado tipo Paley-Wiener y la f\'{o}rmula para el n\'{u}cleo se dan en el Teorema 4.3.2. En la Secci\'{o}n 4.4 se demuestra que la funci\'{o}n $K_{\nu,z}:=K_\nu(\cdot, z)$ satisface la equivalencia $\Vert K_{\nu,z}\Vert_{2,(\nu)}\sim \vert z\vert^{-1/2}$, $z\in\Cma$, salvo constantes de acotaci\'{o}n. Esta equivalencia (o acotaci\'{o}n) es en cierta forma sorprendente, porque las acotaciones habituales de las normas de los n\'{u}cleos $\kappa(x,y)$ en los ejemplos cl\'{a}sicos de funciones holomorfas en dominios $\Omega$ suelen involucrar la distancia a la frontera del dominio $\Omega$ del punto $y\in\Omega$, con $\kappa_y:=\kappa(\cdot,y)$, mientras que $\Vert K_{\nu,z}\Vert_{2,(\nu)}$ depende de la distancia {\it radial} de $z$, es decir, de $z$ al origen, en $\Cma$.
Hemos considerado el operador $\calC_\nu^*$ restringido a $\LiiRma$ y su rango (o imagen) $\TT_2^{(\nu)}(t^\nu)$, como el medio para mostrar las relaciones de los operadores de Ces\`aro-Hardy con el c\'{a}lculo fraccionario y el movimiento Browniano. Esta elecci\'{o}n ha estado motivada por la fruct\'{i}fera relaci\'{o}n de los espacios $\TT_2^{(\nu)}(t^\nu)$ con las ecuaciones abstractas de Cauchy y sus familias asociadas de operadores. Como alternativa, podr\'{i}amos haber elegido tomar el operador $\calC_\nu$ y su rango $\calC_\nu(\LiiRma)$ e intentar un tratamiento similar. El cap\'{i}tulo termina con la Secci\'{o}n 4.5, donde se muestra que $\TT_2^{(\nu)}(t^\nu)=\calC_\nu(\LiiRma)$, lo cual, en vista de las buenas y simples propiedades de los espacios $\TT_2^{(\nu)}(t^\nu)$ y $H_2^{(\nu)}(\Cma)$ vistas en las secciones previas, sugiere la pregunta de si las operaciones de promedio fraccionario, como $\calC_\nu$ hace, podr\'{i}an ser de utilidad en la teor\'{i}a Browniana.
Para finalizar la memoria de la tesis, en el Cap\'{i}tulo 5 abordamos varias cuestiones sobre c\'{o}mo generalizar los operadores y los espacios rango considerados previamente. Primero estudiamos la acotaci\'{o}n de operadores de Ces\`{a}ro-Hardy generalizados $\calC_{\k}$, que escribimos utilizando producto de convoluci\'{o}n $\ast$, $$ \calC_{\k}(f)=\frac{1}{\chi_{(0,\infty)}\ast \k} f \ast \k $$ y nos preguntamos sobre qu\'{e} condiciones deben cumplir esas funciones $\k$ para dar lugar a operadores acotados (se recupera el operador generalizado cl\'{a}sico para la funci\'{o}n $\k(t)=\fr_{\nu}(t):=t^{\nu-1}/\G(\nu)$). Como consecuencia, se definen espacios rango correspondientes a esos operadores $\calC_{\k}^\ast$, resultando ser m\'{o}dulos de Banach con respecto a las correspondientes \'{a}lgebras de Banach, generalizando resultados previamente enunciados.
En la segunda parte del \'{u}ltimo cap\'{i}tulo nos centramos en los rangos de los operadores $\calC_{\k}^\ast$ para establecer un marco de trabajo con aplicaciones a los problemas abstractos de Cauchy. Definimos homomorfismos de \'{a}lgebras desde una nueva clase de funciones test y aplicamos nuestros resultados a operadores concretos. Se introduce la noción de semigrupos de $\k$-distribuci\'{o}n para extender conceptos previos de semigrupos de distribuciones y para generalizar una f\'{o}rmula de tipo Duhamel. Con estas herramientas, se obtiene un teorema sobre extensión de soluciones locales $\k$-convolucionadas (véase Teorema 5.2.17).
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