Resumen de On aggregation and transformation of generalized metrics and its applications
- español
En muchos problemas, que aparecen de forma natural en diferentes campos de la ciencia, la noción de métrica juega un papel esencial. En ellos, dicha noción se utiliza habitualmente para medir la disimilitud entre puntos u objetos. Sin embargo, en algunos casos la definición de métrica es demasiado restrictiva. Esto ha motivado la introducción de diferentes generalizaciones del concepto de métrica, entre los cuales se incluyen las casi-métricas y las métricas parciales. En cambio, algunos problemas involucran en su propia naturaleza cierta incertidumbre. En dichos casos, la teoría Fuzzy es más apropiada para el tratamiento del problema. Este hecho ha promovido algunas adaptaciones al contexto Fuzzy de la noción de métrica y el estudio de estas. Entre otras, podemos encontrar las nociones de operador de indistinguibilidad o el de métrica difusa. Un tema de interés, relacionado con las generalizaciones de métrica y sus adaptaciones al entorno Fuzzy, es el estudio de aquellas funciones que transforman una familia de métricas generalizadas, o una sola, en una nueva métrica generalizada. En esta tesis abordamos algunos tópicos relacionados con dichas funciones. Además, proporcionamos algunas aplicaciones relacionadas con algunos de los resultados teóricos obtenidos en la tesis. A continuación se detallan las principales aportaciones: Damos una nueva caracterización de aquellas funciones que transforman cualquier métrica parcial en una nueva métrica parcial. Además, se estudia qué condiciones deben cumplir dichas funciones para preservar algunas propiedades topológicas. Caracterizamos las funciones que agregan casi-métricas, que son aquellas funciones que transforman cualquier familia de casi-métricas definidas sobre un mismo conjunto X en una nueva casi-métrica definida sobre X. Por otro lado, se demuestran algunas propiedades de dichas funciones y se presentan, de modo argumentado, dos posibles campos de aplicación de los resultados obtenidos. Se demuestra una caracterización de aquellas funciones que generan una métrica parcial a partir de una casi-métrica, y viceversa. Además se estudia qué propiedades deben cumplir dichas funciones para preservar el orden parcial y la topología inducida, tanto por una métrica parcial como por una casi-métrica. Se caracterizan las funciones que agregan una casi-métrica y una métrica parcial con el fin de obtener una nueva métrica generalizada. En dicha caracterización se demuestra que la métrica generalizada obtenida es una casi-métrica parcial. El resultado obtenido permite desarrollar un marco general para el estudio simultáneo de la semántica de lenguajes y el análisis de complejidad algorítmica. Se proporcionan dos formas diferentes de construir una métrica difusa a partir de una clásica. Una de ellas mediante funciones que preservan métricas y la otra por medio de generadores aditivos. Se demuestran algunas propiedades de las métricas difusas obtenidas. Además, proporcionamos un método para construir una métrica clásica a partir de una métrica difusa. Establecemos una relación de dualidad entre métricas difusas y métricas modulares, una generalización de métrica que incluye en su definición un parámetro. Dicha relación motiva la introducción de un nuevo concepto que generaliza tanto a los operadores de indistinguibilidad como a las métricas difusas. Por último, establecemos una base teórica para generar funciones de res\-puesta en el problema de asignación de tareas en sistemas Multi-robot. Este se basa en el uso de operadores de indistinguibilidad y preordenes difusos.
- català
En molts problemes, que apareixen de forma natural en diferents camps de la ciència, la noció de mètrica juga un paper fonamental. En ells, les mètriques s'utilitzen habitualment per a mesurar la dissimilitud entre objectes o punts. Tot i això, en alguns casos el concepte de mètrica es massa restrictiu, fet que ha motivat la introducció de diferents generalitzacions del concepte mètrica, entre els quals s'inclouen les quasi-mètriques o les mètriques parcials. Per altra banda, hi ha alguns problemes que involucren en la seva pròpia naturalesa una certa incertesa. En aquests casos, la teoria Fuzzy és més adequada per al tractament del problema. Tal fet ha propiciat l'aparició d'algunes adaptacions al context Fuzzy de la noció de mètrica i de l'estudi d'aquestes. Entre altres, podem trobar les nocions d'operador d'indistinguibilitat o del de mètrica difusa. Un tema d'interès, relacionat amb les diverses generalitzacions de les mètriques i de les seves adaptacions al context Fuzzy, consisteix en l'estudi d'aquelles funcions que transformen una família de mètriques generalitzades, o una tota sola, en una nova mètrica generalitzada. En aquesta tesi s'abordaran alguns temes relacionats amb aquest tipus de funcions. Per altra banda, es proporcionen algunes aplicacions relacionades amb alguns dels resultats teòrics obtinguts en la tesi. A continuació es detallen les aportacions principals: Donem una nova caracterització d'aquelles funcions que transformen qualsevol mètrica parcial en una nova mètrica parcial. A més, s'estudia les condicions que han de complir aquestes funcions per tal de conservar algunes propietats topològiques. Es caracteritzen les funcions que agreguen quasi-mètriques, és a dir, aquelles funcions que transformen qualsevol família de quasi-mètriques definides sobre un mateix conjunt X en una nova quasi-mètrica definitiva també sobre X. Per un altre costat, es demostren algunes propietats de dites funcions i s'argumenten dos possibles camps d'aplicació dels resultats obtinguts. Demostrem una caracterització d'aquelles funcions que generen una mètrica parcial a partir d'una quasi-mètrica, i viceversa. A més, estudiem les propietats que han de complir dites funcions per tal de preservar l'ordre parcial i la topologia induïts, tant per una mètrica parcial com per una quasi-mètrica. Es caracteritzen les funcions que agreguen una quasi-mètrica i mètrica parcial per tal d'obtenir una nova mètrica generalitzada. Aquesta caracterització demostra que la mètrica generalitzada que s'obté coincideix amb una quasi-mètrica parcial. El resultat obtingut permet desenvolupar un marc general per a l'estudi simultani de la semàntica de llenguatges i l'anàlisi de la complexitat algorítmica. Es proporcionen dues formes diferents de construir una mètrica difusa a partir d'una de clàssica. Una d'elles per mitjà de les funcions que preserven mètriques i l'altra a partir de generadors additius. A més, es demostren algunes propietats de les mètriques difuses obtingudes. Per altra banda, es proporciona un mètode per a construir una mètrica clàssica a partir d'una mètrica difusa. Establim una relació de dualitat entre mètriques difuses i mètriques modulars, una generalització de mètrica que inclou en la seva definició un paràmetre. Aquesta relació motiva la introducció d'un nou concepte que generalitza tant els operadors d'indistinguibilitat com les mètriques difuses. Per últim, s'estableix una base teòrica per generar funcions de resposta en el problema d'assignació de tasques en sistemes Multi-robot. Aquesta es basa en l'ús d'operadors d'indistinguibilitat i de preordres difusos.
- English
In many problems of different fields of Science, the notion of metric plays an essential role. Such a notion is commonly used to measure the dissimilarity between points or objects. However, the definition of metric is too restrictive in some problems. It has motivated the introduction of different kind of generalizations of the concept of metric, in which quasi-metrics and partial metrics are included. Moreover, some problems involve in its nature some uncertainty. In such cases, the Fuzzy theory is more appropriate for the treatment of the problem. This fact has promoted some adaptations to the fuzzy context of the notion of metric and their study. Among others, we can find the notions of indistinguishability operator or fuzzy metric. A topic of interest, related to the generalizations of metric and the adaptation of metric to the fuzzy setting, is the study of those functions that transform a family of generalized metrics, or a single one, into a new generalized metric. In this dissertation we tackle some items related with the aforesaid functions. In addition, we provide some applications related with some of the theoretical results obtained. The main contributions of this dissertation are summarized below: We prove a new characterization of those functions that transform each partial metric into a new one partial metric. In addition, conditions to preserve some topological properties by the aforementioned functions are studied. We characterize quasi-metric aggregation functions, which are those functions that transform a family of quasi-metrics defined on the same set $X$ into a new quasimetric defined on $X$. Moreover, some properties of such functions are proved and two possible fields of application of the obtained results are presented. A characterization of those functions that generate a partial metric from a quasimetric, and vice-versa, are proved Besides, the preservation by means of such functions of the partial order and the topology induced by a quasi-metric or a partial metric are studied. Functions that merge a quasi-metric and a partial one into a new generalized metric are characterized. In such a characterization it is shown that the generalized metric obtained is a partial quasi-metric. The result obtained allows us to develop a general framework to study, at the same time, denotational semantics and complexity analysis of algorithms. Two different ways to construct a fuzzy metric from a classical one are provided. One of them by means of metric preserving functions and the other one using additive generators. Some properties of the fuzzy metrics obtained are proved. Furthermore, we give a method to construct a classical metric from a fuzzy one. We establish a duality relationship between fuzzy metrics and modular metrics, a generalization of metric that include in its definition a parameter. Such a relationship motivates the introduction of a new concept that generalizes both indistinguishability operators and fuzzy metrics. We establish a theoretical foundation to generate response functions for Multirobot task allocation problem. It is based on the use of indistinguishability operators and fuzzy preorders.
