Resumen de El problema de la distribución de puntos en la esfera
Los puntos bien distribuidos en un espacio aparecen de forma natural en problemas de muy diversa índole. Necesitamos puntos bien distribuidos para la integración numérica, la aproximación e interpolación, el estudio de las funciones radiales, los métodos cuasi Montecarlo o los métodos de elementos finitos para ecuaciones diferenciales. Además de estar relacionados con problemas clásicos en matemáticas, presentan muchas aplicaciones en la vida real, como la modelización del fondo cósmico de microondas, la cristalografía y el estudio de las estructuras víricas. Cada una de estas aplicaciones requiere una definición diferente y precisa del concepto “bien distribuidos”. A lo largo de las páginas de esta tesis estudiamos distintas definiciones que responden a este concepto, así como distintos conjuntos de puntos que verifican esas definiciones.
En particular, en esta tesis demostramos la existencia de t-designs en variedades algebraicas con un número de puntos comparable a la dimensión del espacio de polinomios de grado acotado en la variedad. Este resultado generaliza el obtenido por Bondarenko, Radchenko y Viazovska para la esfera de dimensión d.
Además realizamos un estudio de diferentes procesos determinantales derivados de un proceso determinantal en la esfera de dimensión 2 invariante por rotaciones llamado el spherical ensemble. Nuestras generalizaciones a la esfera de dimensión arbitraria d y al espacio proyectivo complejo de dimensión arbitraria d producen puntos muy bien distribuidos en los sentidos de minimizar las energías de Riesz y Green, respectivamente.
Por último, definimos una estructura en la esfera de dimensión 2 a la que denominamos estructura de diamante y que depende de varios parámetros. Para cualquier elección de parámetros, obtenemos familias de puntos aleatorios en la esfera. La propiedad principal de esas familias es que podemos calcular la asintótica de la esperanza de su energía logarítmica y además, esta toma valores muy pequeños, lo más cercanos que se conoce hasta la fecha del valor conjeturado para ser mínimo.
