Resumen de Extensiones de fragmentos de la aritmética
El presente trabajo se enmarca dentro del campo de estudio de los Modelos de la Aritmética de Peano: PA. En líneas generales, se desarrolla un estudio sistemático de Fragmentos de la Aritmética empleando como metodología el análisis de la complejidad de sus extensiones. Para medir la complejidad de una extensión, se consideran dos criterios:(--) La complejidad sintáctica de sus axiomas.(--) La complejidad descriptiva, desde el punto de vista computacional, del conjunto de sus axiomas.En la primera parte del trabajo, refinamos propiedades conocidas sobre estructuras de elementos definibles, prestando especial atención a aquellos resultados que establecen que en dichas estructuras no son válidos esquemas de inducción o colección. Estos refinamientos son esenciales para obtener propiedades óptimas sobre existencia de extensiones de fragmentos de una cierta complejidad.En la parte central del trabajo, se obtienen resultados (en muchos casos óptimos) sobre la complejidad sintáctica y descriptiva de extensiones de fragmentos. Clásicos de la Aritmética (esto es, los obtenidos al restringir los principios de inducción, colección o minimización a fórmulas $\Sigma-n$ o $\Pi-n$).En la tercera parte del trabajo, se emplean los resultados sobre extensiones anteriores para estudiar Fragmentos Relativizados, es decir, los fragmentos de la Aritmética obtenidos al restringir los principios de inducción, colección, o minimización a fórmulas $\Delta-n(T)$ (esto es, fórmulas $\Sigma-n$ equivalentes a una fórmula $\Pi-n$ y tales que la teoría T demuestra dicha equivalencia). Dichos esquemas habían sido considerados previamente por Fernández Margarit y Lara Martín en relación al estudio del problema de Jeff Paris sobre la equivalencia de los fragmentos de inducción y minimización para fórmulas $\Delta-n$. El objetivo general del estudio de la Aritmética de Peano es obtener una mayor compresión de la potencia y las limitaciones de ciertos métodos de prueba sobre números naturales: inducción, minimización, principios combinatorios, etc. Demostrar un teorema en la Aritmética de Peano nos informa sobre los recursos lógico-matemáticos que son necesarios para la prueba de dicha propiedad. Por otra parte, PA puede identificarse con la teoría de conjuntos finitos; por lo tanto, una prueba en PA supone un análisis de los principios combinatorios empleados. De esta manera, el hecho de que una propiedad sobre números (válida en la estructura estándar) no sea demostrable en PA pone de manifiesto que la Combinatoria finita no es suficiente para establecer la validez de dicha propiedad. Un procedimiento para refinar el análisis anterior es estratificar la teoría PA en una jerarquía de teorías (fragmentos). En lugar de considerar el principio de inducción para toda fórmula de primer orden, sólo permitimos el uso de dicho principio para fórmulas de cierta complejidad sintáctica. Éste es el contexto general en el que se enmarca el trabajo desarrollado en la presente memoria.
