Resumen de Modular symbols over number fields
María Teresa Aranés
Sea K un cuerpo de números, y R su anillo de enteros. Utilizando métodos basados en símbolos modulares se ha determinado el espacio de formas parabólicas de peso 2 respecto de GL(2, K) para algunas clases de cuerpos de números. Por ejemplo, J. E. Cremona y varios de sus estudiantes utilizan una extensión de los métodos clásicos sobre los racionales para realizar cálculos explícitos sobre varios cuerpos cuadráticos imaginarios con número de clases pequeño. Asimismo, P. Gunnells y D. Yasaki han desarrollado algoritmos basados en símbolos modulares que pueden aplicarse al caso cuadrático real. En este último caso (formas modulares de Hilbert), resultados explícitos han sido obtenidos por L. Dembélé, quién ha diseñado un método diferente que utiliza algunas de las técnicas del método de símbolos modulares.
El objetivo de esta tesis es contribuir a la extensión del método de los símbolos modulares, no sólo desde un punto de vista puramente teórico, sino también desarrollando algoritmos e implementaciones para la realización de cálculos explícitos. En particular, implementaciones de los algoritmos descritos en la tesis se han escrito utilizando el software matemático Sage. Recordemos que la base del método de los símbolos modulares es la existencia de una correspondencia entre el espacio de formas parabólicas y homología, lo que permite obtener información acerca del espacio de formas parabólicas estudiando el correspondiente grupo de homología vía símbolos modulares. Parte de la teoría clásica puede extenderse a todo cuerpo de números debido a su naturaleza puramente algebraica. En la tesis generalizamos la teoría para puntos parabólicos y símbolos de Manin. Describimos también una generalización de las involuciones de Atkin-Lehner y estudiamos otros elementos del grupo normalizador. Por otra parte, en el caso cuadrático imaginario las técnicas desarrolladas previamente se han aplicado únicamente a cálculos en casos específicos. En la última parte de la tesis damos los primeros pasos hacia una implementación general de los métodos para el caso cuadrático imaginario.
