Condicionamiento de fórmulas de interpolación

• Autores: Y. Khiar
• Directores de la Tesis: Juan Manuel Peña Ferrández (dir. tes.) , Jesús Miguel Carnicer (dir. tes.)
• Lectura: En la Universidad de Zaragoza ( España ) en 2018
• Idioma: español
• Tribunal Calificador de la Tesis: José Javier Martínez Fernández de las Heras (presid.) , Jorge Delgado Gracia (secret.) , Martin Buhmann (voc.)
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  • Tesis en acceso abierto en: Zaguán
• Resumen

  • La interpolación es una técnica que permite manipular funciones complicadas sustituyéndolas por otras más simples. El cálculo de los interpolantes se realiza a través de diferentes estrategias que dan lugar a fórmulas como la de Lagrange, Newton o Aitken-Neville. La experiencia numérica muestra discrepancias debido a la diferente propagación de los errores de redondeo. Definimos un condicionamiento para las representaciones de los interpolantes que permite analizar este fenómeno.

    El problema de interpolación de Lagrange consiste en encontrar un polinomio que coincida con una función dada en puntos distintos llamados nodos. El interpolante puede expresarse mediante fórmulas distintas. La fórmula de Lagrange expresa directamente el interpolante en términos de los valores de la función a través de los polinomios fundamentales de Lagrange. Otra forma de representar el interpolante de Lagrange es la fórmula de Newton asociada a una sucesión de nodos. Un objetivo de la memoria ha sido estudiar las diferentes propiedades de estabilidad de dicha fórmula dependiendo del orden de los nodos.

    Extendemos el concepto de condicionamiento y su análisis a otros problemas de aproximación como mínimos cuadrados. Por ello, también estudiamos la representación de cuasi-interpolantes.

    En el Capítulo 1 estudiamos los operadores de cuasi-interpolación y sus representaciones. Definimos un condicionamiento asociado a cada representación. Recordamos el condicionamiento de Skeel de una matriz y lo aplicamos a la acotación de condicionamientos. Los capítulos 2, 3 y 4 están dedicados al estudio de operador de interpolación de Lagrange y sus representaciones.

    En el Capítulo 2 demostramos que la representación de Lagrange es óptima y analizamos la estabilidad de la fórmula de Newton, que depende del orden de los nodos. Demostramos que la inversa de una matriz de Vandermonde puede calcularse con alta precisión relativa (HRA) bajo ciertas condiciones. Consideramos las factorizaciones triangulares de Crout y de Doolittle de la matriz de Vandermonde y proponemos algoritmos para el cálculo de las correspondientes matrices triangulares y sus inversas con HRA. Dichas matrices triangulares inferiores están relacionadas con diferentes normalizaciones de la fórmula de Newton y se pueden utilizar para la acotación del condicionamiento de la representación de Newton.

    En el Capítulo 3 se recuerda que la constante de Lebesgue con n+1 nodos equidistantes tiene un crecimiento del tipo 2^n. Se estudia la estabilidad de la fórmula de Newton con nodos equidistantes en orden creciente y se generalizan estas técnicas para abordar los casos de nodos casi equidistantes y nodos en progresión geométrica. En el caso de nodos equidistantes demostramos que el condicionamiento está acotado por 3^n y que dicho valor se alcanza en el último nodo. Deducimos que el condicionamiento de Skeel de las inversas de las matrices triangulares inferiores asociadas a diferentes representaciones de la fórmula de Newton es 3^n. Como caso particular importante obtenemos el condicionamiento de Skeel y el condicionamiento en norma infinito de la matriz de Pascal triangular inferior. Realizamos un estudio del condicionamiento en norma infinito de la matriz L que permite obtener las diferencias divididas en términos de los valores de la función. Este condicionamiento depende de la longitud del intervalo. Demostramos que el condicionamiento tiene un crecimiento exponencial y que los intervalos de longitud 3 corresponden a un crecimiento asintótico óptimo.

    En el Capítulo 4 consideramos diferentes ordenaciones de nodos para la fórmula de Newton. Comenzamos con el orden de Leja y demostramos que el máximo condicionamiento en los nodos está acotado por 2^(n+1)-1. Sin embargo, los experimentos numéricos en nodos equidistantes muestran que esta cota es muy pesimista. La dificultad del análisis del orden de Leja no nos ha permitido mejorar la cota. Sin embargo, hemos estudiado en las restantes secciones otras ordenaciones con buenas propiedades y cuyo análisis es más simple. En la Sección 4.2 hemos considerado el orden central respecto a un centro y hemos realizado un análisis cuantitativo que permite justificar el uso de métodos relacionados con diferencias centrales. Demostramos que el condicionamiento de la fórmula de Newton con nodos equidistantes siguiendo un orden central está acotado por (1+sqrt 2)^(n+1). Dedicamos especial atención al caso particular de orden central respecto al punto de evaluación que proporciona cotas muy ajustadas próximas a la constante de Lebesgue. También se obtienen cotas próximas a la constante de Lebesgue con el orden central inverso para nodos equidistantes, estudiado en la Sección 4.4. En la Sección 4.5 interpretamos el orden de Leja y el central inverso en términos de eliminaciones matriciales con estrategias de pivotaje. Concretamente, recordamos la conexión entre el orden de Leja y la eliminación gaussiana con pivotaje parcial y demostramos una conexión similar entre el orden central inverso para nodos equidistantes y la eliminación de Neville con pivotaje parcial. Recordemos que la eliminación de Neville es un procedimiento de eliminación alternativo a la eliminación gaussiana en la que a cada fila se le resta un múltiplo de la fila anterior.

    El Capítulo 5 está dedicado al caso de representaciones con bases ortogonales. Introducimos el problema de aproximación por mínimos cuadrados y vemos las buenas propiedades de los operadores en norma media cuadrática. En la Sección 5.3 analizamos el comportamiento en la norma infinito y obtenemos fórmulas y cotas para el condicionamiento. En las secciones 5.4 y 5.5 estudiamos las representaciones en términos de polinomios ortogonales clásicos de los operadores asociados a problemas de mínimos cuadrados continuos y discretos. Estudiamos los casos de polinomios de Legendre y Chebyshev de primera especie y segunda especie. En el caso de Legendre el condicionamiento tiene un crecimiento semicúbico, para polinomios de Chebyshev de primera especie el crecimiento es lineal y para los de segunda especie es cuadrático. En el caso en que el número de nodos coincide con n+1, la dimensión del espacio de los polinomios, tenemos problemas de interpolación en los ceros de polinomios ortogonales y el estudio anterior nos permite calcular el condicionamiento de representaciones de interpolantes en términos de polinomios ortogonales clásicos.

    En el Capítulo 6 estudiamos las consecuencias que tiene la positividad de las bases y de los funcionales en la búsqueda de bases que tengan un buen condicionamiento. Como consecuencia de los resultados, podemos destacar la optimalidad de la representación de Lagrange respecto a otras con funcionales positivos y la optimalidad de la base de Bernstein respecto a otras bases totalmente positivas, como la base de monomios.