Resumen de Numerical computation of invariants in dynamical systems. Applications in dissipative and hamiltonian systems.
Ángeles Dena Arto
La necesidad que tiene el ser humano de entender y comprender el mundo en el que vive, nos conduce a desarrollar técnicas que le ayuden a entender los llamados sistemas dinámicos. El estudio de estos ha adquirido gran importancia en las últimas décadas. Como ejemplo de sistemas dinámicos continuos se pueden considerar la dinámica de los planetas, el estudio de la rotación de un sólido rígido o incluso el estudio de la evolución meteorológica (estudiado por Edward Lorenz y cuya formulación más sencilla genera la famosa mariposa de Lorenz). Con la finalidad de conocer la evolución de los sistemas dinámicos se pueden realizar estudios sistemáticos de invariantes de estos como son: toros invariantes, soluciones estacionarias, órbitas periódicas, etc.
Esta tesis doctoral se centra en la búsqueda de nuevos métodos numéricos para la obtención y estudio de las órbitas periódicas y en el desarrollo de software científico para este propósito. Se estructura en cuatro partes:
En la primera parte se desarrolla un nuevo método que permite calcular órbitas periódicas con precisión arbitraria, con el objetivo de usarlo en estudios de sistemas dinámicos donde sea necesaria una alta precisión. Para ello se extienden algoritmos clásicos, como el método de Taylor, con la finalidad de calcular órbitas periódicas de sistemas dinámicos. Nuestro trabajo combina el uso de un método "shooting" optimizado, el algoritmo SVD y las recientes técnicas desarrolladas para resolver EDOs en alta precisión a través del software TIDES. Este método puede ser aplicado a cualquier sistema dinámico, ya sea disipativo o conservativo. La aplicabilidad del método se ha probado con dos ejemplos paradigmáticos, el modelo de Lorenz y el hamiltoniano de Hénon-Heiles, obteniendo órbitas con 1000 dígitos de precisión para las órbitas LR y LLRLR de Lorenz, y para una órbita estable y otra inestable del hamiltoniano Hénon-Heiles. Por otra parte, se muestra que el tiempo computacional es razonable ya que la complejidad del algoritmo es polinomial con respecto al número de dígitos.
En la segunda parte se estudia el problema de la búsqueda de órbitas periódicas simétricas y no simétricas. Para ello se usan dos algoritmos diferentes: el método "gris search" y una versión de un modelo de optimización basado en estrategias evolutivas para obtener las órbitas periódicas no simétricas. Ambos métodos han sido usados para encontrar órbitas periódicas en el movimiento de un orbitador lunar, estudio que puede resultar de gran interés para futuras misiones de las Agencias Espaciales. Además de ambos algoritmos, se ha desarrollado el correspondiente código en paralelo y se ha verificado uno de los objetivos que se pretendía y que era reducir el tiempo computacional. Esto se ha conseguido debido al uso de estas herramientas de paralelización y al uso de ordenadores de alto rendimiento. Los resultados, en cuanto a eficiencia se refiere, prueban que ambos métodos admiten una buena paralelización y son de gran interés cuando se persigue encontrar un número masivo de órbitas periódicas.
En el tercera parte introducimos un método numérico que permite continuar familias de órbitas periódicas en precisión arbitraria. El método está basado en el uso combinado de varias técnicas: el algoritmo pseudo-arclength, un método de tipo "shooting" optimizado, el método de las series de Taylor implementado por medio del software libre TIDES y el método SVD. El nuevo algoritmo se aplica a dos problemas, el hamiltoniano de Hénon-Heiles y el problema de Copenhagen. El uso de la alta precisión en nuestro nuevo método nos ha permitido observar la estructura final en espiral de una familia clásica de órbitas periódicas del problema de Copenhagen imposible de visualizar sin esta técnica.
La cuarta parte de esta tesis expone algunas aplicaciones de los métodos desarrollados en los capítulos anteriores. Presenta un estudio de la dinámica de un modelo económico en su espacio paramétrico completo. Además, muestra como el uso de diferentes técnicas numéricas y analíticas nos permiten realizar un estudio completo de los problemas caóticos de baja dimensión y, en particular, de los puntos de bifurcación.
