Resumen de Maximal graded algebras of quotients and structure of prime strongly nondegenerate lie algebras
Hannes Bierwirth
La noción de álgebra de cocientes ha jugado un papel importante en el desarrollo de las teorías de anillos asociativos y conmutativos.
Este concepto fue introducido con el objetivo de encontrar álgebras que englobaran a una dada y que fueran más tratables y tuvieran ``buenas propiedades" heredadas por las álgebras que contuvieran como álgebras de cocientes.
\'Este es el caso, por ejemplo, de las álgebras clásicas de cocientes de un álgebra semiprima noetheriana y, para una clase más amplia de álgebras, de las álgebras de cocientes de Martindale de un álgebra asociativa semiprima, cuyo estudio ha sido fundamental para lograr un conocimiento más profundo de las álgebras asociativas primas y semiprimas.
En los años 30, una construcción del anillo total de fracciones fue realizada por Ore y Osano. Después, en los 50, el teorema de Goldie [LAM] caracterizó los anillos que son órdenes clásicos por la derecha en anillos semiprimos y artinianos. La noción de anillo (general) de cocientes por la derecha de un anillo dado R fue introducida por Utumi (véase [U]): si R es un subanillo de Q, entonces Q se dice que es un anillo (general) de cocientes por la derecha de R si dados p,q € Q, con p distinto de 0, existe r € R tal que pr distinto de 0 y qr € R. Utumi también probó que si un anillo no contiene divisores totales de cero por la izquierda entonces tiene un anillo de cocientes maximal por la derecha, Q_maxr (R); maximal en el sentido de que todo anillo de cocientes por la derecha puede verse inmerso en Q_maxr (R) vía un monomorfismo que es la identidad cuando se restringe a R.
En el contexto no asociativo la noción de álgebra (maximal) de cocientes también encuentra su lugar. En el caso Lie, se muestra que es una forma interesante de ver las álgebras de derivaciones así como un ``buen contexto" para describir las álgebras de Lie fuertemente primas y no degeneradas. Este es parte de nuestro objetivo en este trabajo, dividido en cuatro capítulos, cada uno de los cuales ha dado lugar a un artículo que ha sido publicado o que ha sido enviado para publicación (véanse [BS], [BMSS], [BS2], [HMM]).
Varios autores han extendido el concepto de álgebra de cocientes para el caso no asociativo. La pregunta de Jacobson sobre si sería posible incluír un dominio de Jordan en un álgebra de Jordan de división es considerada por algunos autores como el punto inicial del estudio de la existencia de álgebras de Jordan de cocientes. Una versión de Jordan del Teorema de Goldie fue dada en el caso de álgebras especiales de Jordan, resultado que fue extendido a álgebras de Jordan cuadráticas (véanse [B1, B2, B3, CS]). Uno de los artículos más inspiradores es [M], donde C. Martínez considera álgebras de Lie y derivaciones sobre ideales para poder dar una condición de Ore para que un álgebra de Jordan tenga un álgebra de cocientes clásica.
La noción de álgebra de cocientes de un álgebra de Lie fue introducida por M. Siles Molina en [S1]. Teniendo en mente la construcción de Utumi y el trabajo de Martínez, ella consideró clases de equivalencia de derivaciones definidas en ideales esenciales para construir un álgebra de cocientes maximal para cada álgebra de Lie semiprima. Estas ideas, así como la construcción de Tits-Kantor-Koecher, que permite trasladar problemas de un contexto Jordan a uno Lie, fueron usados por García y Gómez Lozano [GG] para dar una noción de cociente tipo Martindale para sistemas de Jordan lineales.
En [AGG] estos autores, conjuntamente con Anquela, debilitaron la restricción de la existencia de 1/2 en el anillo de escalares (aunque únicamente álgebras fuertemente primas fueron consideradas), y en [AC] Anquela y McCrimmon introdujeron cocientes de Martindale de álgebras de Jordan sobre anillos arbitrarios de escalares con respecto a filtros de denominadores de ideales.
El artículo introductorio [S1] fue seguido por \cite{ps, CabreraSanchez}, donde se consideraron propiedades abstractas de álgebras de cocientes de álgebras de Lie, y en \cite{bpss}, donde el principal objetivo fue calcular álgebras de cocientes maximales de ciertas álgebras de Lie así como responder algunas preguntas naturales, concretamente, si el álgebra de cocientes maximal de un ideal esencial coincide con el álgebra de cocientes maximal del álgebra total, y si tomar álgebras maximales de cocientes es una operación cerrada.
El siguiente paso, que se dio en \cite{SS1}, fue considerar álgebras graduadas de cocientes de un álgebra de Lie, donde esta noción fue explorada manteniendo un énfasis especial en el caso 3-graduado, de suficiente importancia como revela la construcción TKK. Es precisamente en esta línea de investigación en la que la presente memoria debería pensarse.
En el Capítulo 1 centramos nuestra atención en la estructura de Lie de álgebras graduadas de cocientes, concretamente en un conocimiento más profundo de los ideales de Lie graduados y su conexión con los ideales asociativos graduados (cuando un ideal de Lie no nulo graduado contiene un ideal asociativo no trivial) y por otra parte, en la relación entre derivaciones de Lie graduadas y derivaciones asociativas graduadas de un álgebra asociativa graduada.
La razón para estudiar álgebras de Lie graduadas de la forma A/Z(A), para A un álgebra asociativa graduada, es que estas últimas proporcionan ejemplos ubicuos de álgebras de Lie, y la razón por la que estamos interesados en derivaciones asociativas graduadas es porque queremos calcular el álgebra de cocientes maximal graduada de ciertas álgebras de Lie graduadas, y cuando estas álgebras provienen de álgebras asociativas, las derivaciones de Lie graduadas definidas en ideales esenciales de Lie graduados pueden ser sustituidos por derivaciones graduadas asociativas definidas en ideales graduados asociativos.
En el camino que nos lleva a nuestros propósitos estudiamos el anulador de un ideal de Lie graduado U en un álgebra asociativa A y su relación con el anulador cuadrático de U. De hecho, vemos que los elementos homogeneos contenidos en el anulador cuadrático están contenidos en el anulador. También vemos que para cada ideal de Lie graduado no central, la subálgebra (asociativa) que genera contiene un ideal graduado asociativo no nulo de A. Esto será de suma importancia en la demostración de que Q_gr-m (A/Z) es isomorfo a Der_gr (A) para un álgebra prima asociativa graduada A (Teorema \ref{isomorfismo}) que sea libre de torsión 2 y 3 (y satisfaga una cierta propiedad técnica).
Aunque algunos de los resultados son paralelos a sus análogos no graduados, las demostraciones necesitan de aproximaciones diferentes. Concretamente, para probar el Teorema \ref{isomorfismo}, la clave será el uso de aplicaciones biaditivas y las técnicas usadas por Bresar en \cite{bresar1}. Asimismo también necesitamos desarrollar una teoría tipo Herstein para álgebras asociativas graduadas que relacione ideales graduados asociativos y de Lie.
En el Capítulo 1 también encontramos ejemplos de álgebras graduadas de cocientes de álgebras de Lie graduadas (Sección 1.5) y calculamos el álgebra de cocientes maximal de algunas álgebras de Lie graduadas (Sección 1.6).
Para terminar este capítulo obtenemos información sobre el álgebra de Lie de derivaciones graduadas de un álgebra graduada semiprima (también libre de torsion 2 y 3) A. Demostramos que Der_gr (A) es fuertemente no degenerada módulo cierto ideal I que contiene al centro de A y calculamos la estructura de dicho ideal, que resulta ser el anulador de las derivaciones internas de A.
En el capítulo 2 continuamos con el estudio de álgebras de Lie graduadas y sus álgebras de cocientes graduadas. Concretamente, estudiamos cómo el álgebra de cocientes maximal de un álgebra de Lie graduada hereda la graduación de ésta.
Como hemos explicado, algunas preguntas sobre la noción de álgebra (graduada) de cocientes de un álgebra de Lie han sido ya resueltas; pero todavía hay una cuestión abierta.
(Q): ¿Coincide el álgebra de cocientes maximal de la componente cero con la componente cero del álgebra graduada de cocientes maximal? También el análogo en el caso asociativo (sin respuesta hasta donde conocemos), esto es, (Q'): ¿Coincide la componente cero del álgebra de cocientes de Martindale de un álgebra graduada asociativa con el álgebra de cocientes de Martindale de la componente cero de dicha álgebra? Ambas cuestiones están estrechamente relacionadas porque, como veremos en la Sección 2.3, para un álgebra asociativa 3-graduada simple A, el álgebra de cocientes maximal de A/Z coincide con Q(A)/Z, y obtenemos un resultado similar cuando el álgebra A tiene involución.
En la Sección 2.2 damos respuesta positiva a la pregunta (Q'), mientras la respuesta (también afirmativa) para (Q) es dada en la Sección 2.3.
La idea para probar este resultado es la que sigue: demostramos que cada Z-graduación finita en un álgebra asociativa semiprima A (cumpliendo también otras condiciones) es inducida por un conjunto de idempotentes ortogonales pertenecientes a Qs(A) y cuya suma es 1. Después demostramos que para cada idempotente e € Qs(A), el corner del álgebra de cocientes de Martindale de A es el álgebra de cocientes de Martindale del corner eAe, siempre que eA+Ae esté contenido en A. De hecho, esto es un corolario de un resultado más general que dice que tomar álgebras locales en elementos y álgebras de cocientes simétricos de Martindale conmutan.
La Sección 2.1 esta destinada a ver cuándo el carácter graduado fuertemente no degenerado pasa de un álgebra de Lie graduada a sus ideales graduados y de la componente cero de un álgebra de Lie graduada al álgebra entera.
De hecho veremos que todo ideal graduado de un álgebra de Lie fuertemente no degenerada es fuertemente no degenerado como álgebra, ampliando por tanto el resultado del caso no graduado.
Para terminar el Capítulo 2, aplicamos algunos de los resultados previos para establecer que cada álgebra de Lie finitaria sobre los complejos admite una 3-graduación y es fuertemente no degenerada. Además se da una descripción detallada de sus álgebras maximales de cocientes.
En el Capítulo 3 describimos álgebras de Lie primas fuertemente no degeneradas (sobre un cuerpo de característica diferente de 2, 3 y 5) con ideales internos minimales abelianos.
Para esta descripción hacemos uso de los resultados probados hasta el momento, y de la descripción de las álgebras de Lie simples fuertemente no degeneradas que contienen ideales minimales internos abelianos, hecha por Draper, Fernández, Gómez y García (véase [5.1 Theorem, DFGG].) Finalizamos esta tesis con el Capítulo 4. Aquí el objetivo es caracterizar isomorfismos entre anillos primos. Hemos incluido este capítulo porque queríamos mostrar los resultados obtenidos durante una estancia del autor de esta memoria en Eslovenia bajo la supervisión del Profesor Matej Bresar; resultados que no están directamente relacionados con los Capítulos 1, 2 y 3, pero queríamos presentar el trabajo hecho durante el doctorado. Además, es uno de nuestros objetivos relacionar ambas partes de la tesis.
El estudio de aplicaciones entre anillos y álgebras que están determinadas por la acción de pares de elementos cuyo producto es cero tiene una larga historia. Referimos a [CKL] para detalles históricos y referencias. En el Capítulo 4 continuamos el estudio de tales aplicaciones entre anillos primos con idempotentes no triviales, tema iniciado en el influyente artículo [CKL] por M. A. Chebotar, W. F. Ke y P. H. Lee.
En [CKL] los autores consideraron una aplicacion aditiva y biyectiva h entre anillos primos R y T con la propiedad xy=0 implica h(x)h(y)=0. Su resultado principal en particular muestra que si R contiene un idempotente no trivial (y satisface una condición técnica que más tarde fue eliminada en [B]) entonces existe \lambda en el centroide extendido de T tal que se tiene h(xy)=\lambda h(x)h(y) para todo x, y € R. En el caso en que R es unitario la demostración es mucho más simple y de hecho se tiene que \lambda es un elemento del centro de T. En el caso no unitario la demostración está basada en identidades funcionales (ver [BCM]).
En [B] Bre\v{s}ar consideró una condición más general donde una aplicación h entre R y T satisface (4.0.1) xy=yz=0 implica que h(x)h(y)h(z) = 0 para todo x, y, z € R.
Sin embargo, solo fue tratado el caso en que R es unitario y h(1) = 1. En este capítulo trataremos el caso no unitario, considerablemente más dificil. Primero debemos considerar un problema más general acerca de una aplicación triaditiva. En realidad, consideraremos una aplicación multiaditiva en un numero arbitrario de variables satisfaciendo una condición de este tipo. Para esto hemos estado motivados por varios trabajos recientes que tratan con aplicaciones biaditivas satisfaciendo condiciones relacionadas. Una aplicación del Teorema 4.1.1 a aplicaciones que satisfacen (4.0.1) dará lugar a una identidad funcional. Usando algunos métodos de la teoría de identidades funcionales seremos capaces de obtener el resultado deseado.
El estudio de aplicaciones determinadas por la acción de elementos que satisfacen xy=yz=0 ha sido motivado por sus aplicaciones a derivaciones locales. Concretamente, la siguiente condición sobre una aplicación d : R ----> R es relevante en este contexto:
(4.0.2) xy=yz=0 implica que xd(y)z = 0 para todo x, y, z € R.
Consideraremos (4.0.2) en la Sección 5.3. Los resultados obtenidos en esta sección no son realmente nuevos. Sin embargo, puede ser de interés ver que el enfoque basado en el Teorema 4.1.1 hace posible tratar (4.0.1) y (4.0.2) de forma unificada.
[AC] J. A. Anquela, McCrimmon, Martindale quotients of Jordan algebras. Journal of pure and applied algebra 213 (2009), 299-312.
[AGG] J. A. Anquela, Esther García, Miguel Gómez Lozano, Maximal algebras of Martindale-like quotients of strongly prime linear Jordan algebras, J. Algebra 280 (2004), no. 1, 367-383.
[BBG] H. Bierwirth, M. Bresar, M. Grasic, On maps determined by zero products, Comm. Algebra 40 (6) (2012), 2081-2090.
[BMSS] H. Bierwith, C. Martín González, J. Sánchez Ortega, M. Siles Molina, Martindale algebras of quotients of graded algebras, (Preprint).
[BS] H.Bierwirth, M.Siles Molina, Lie ideals of graded associative algebras. Israel J. Math. 191 (2012), 111-136.
[BS2] H.Bierwirth, M.Siles Molina, Structure of strongly nondegenerate prime Lie algebras, (Preprint).
[B] M. Bresar, Characterizing homomorphisms, derivations and multipliers in rings with idempotents, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A 137 (2007), 9-21.
[BCM] M. Bresar, M. A. Chebotar, W. S. Martindale 3rd, Functional identities, Birkhäuser, 2007.
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[B2] D. J. Britten, Goldie-like conditions on Jordan matrix rings, Trans. Amer. Math. Soc. 190 (1974), 87-98.
[B3] D. J. Britten, On semiprime Jordan rings H(R) with ACC, Proc. Amer. Math. Soc. 45 (1974), 175-178 [CKL] M. A. Chebotar, W.-F. Ke, and P.-H. Lee, Maps characterized by action on zero products, Pacific J. Math. 216 (2004), 217-228.
[DFGG] C. Draper Fontanals, A. Fernández López, E.
García, M. Gómez Lozano, The socle of a nondegenerate Lie algebra, J. Algebra 280 (2004), 635-654.
[GG] E. García, M. Gómez Lozano, Jordan systems of Martindale-like quotients, J. Pure Appl. Algebra 194 (2004), 127-145.
[LAM] T.Y.Lam, Lectures on modules and rings, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York, (1999).
[M] C. Martínez, The Ring of Fractions of a Jordan Algebra, J. Algebra 237 (1996), 798-812.
[S1] M. Siles Molina, Algebras of quotients of Lie algebras, J. Pure and Applied Algebra 188 (2004), 175-188.
[U] Y. Utumi, On quotient rings. Osaka J. Math. 8 (1956), 1-18.
