Resumen de Homotopía racional de acciones de grupos de lie en espacios elípticos

Sergio Huerta Lara

• El conjunto de puntos fijos es un objeto habitual de estudio cuando se trata con acciones de grupos.

  En el presente trabajo se estudia este objeto desde el punto de vista de la teoría de homotopía racional.

  Como el conjunto de puntos fijos no es un invariante ni siquiera del tipo de homotopía, se utiliza el conjunto de puntos fijos homotópicos.

  El conjunto de puntos fijos homotópicos es homemomorfo al espacio de secciones de la fibración de Borel asociada a la acción.

  En los casos en los que es posible se dan los modelos de tipo algebraico del espacio de secciones y se reconocen las condiciones en las que nos podemos trabajar.

  Para acciones de la circunferencia en una esfera, un toro en una esfera de dimension impar y la dircunferencia en un plano proyectivo complejo; se identifica el tipo de homotopía racional de cada una de las componentes arcoconexas del conjunto de puntos fijos homotópicos.

  Al hilo de la dualidad elíptico-hiperbólica en teoría de homotopía racional, se demuestra que bajo ciertas condiciones, la acción de un grupo de Lie en un espacio elíptico deja como conjunto de puntos fijos homotópicos espacios con cada una de sus componentes arcoconexas espacios elípticos.

  En el último capítulo, se da un modelo algebraico de la aplicación que relaciona el conjunto de puntos fijos con el conjunto de puntos fijos homotópicos.

  En caso de tratar con acciones de toros se demuestra que la inclusión de los puntos fijos en el conjunto de puntos fijos homotópicos induce un morfismo inyectivo entre los grupos de homotopía racional correspondientes.

  Bibliografía [1] Buijs, Urtzi; Félix, Yves; Murillo, Aniceto; Rational homotopy of the (homotopy) fixed point sets of circle actions Adv. Math. 222 (2009), no. 1, 151-171.

  [2] Félix, Yves; Halperin, Stephen; Thomas, Jean-Claude; Rational homotopy theory, Graduate Texts in Mathematics, 205. Springer-Verlag, New York, 2001