Resumen de Higgs bundles and hermitian symmetric spaces
Roberto Rubio Núñez
En esta tesis estudiamos el espacio de móduli de G-fibrados de Higgs poliestables sobre una superficie de Riemann X de género g, siendo G un grupo de Lie no compacto y de tipo Hermítico, es decir, tal que el cociente G/H por un subgrupo compacto maximal H es un espacio simétrico Hermítico. Estos grupos incluyen las cuatro familias clásicas SU(p,q), Sp(2n,R), SO_0(2,n), SO*(2n) y los grupos excepcionales E6(-14) y E7(-25), además de sus cocientes, y recubridores finitos.
Esta tesis presenta el estudio de tres fenómenos de rigidez - Desigualdad de tipo Milnor-Wood. El invariante de Toledo, definido como número racional asociado a los fibrados estudiados, está acotado en valor absoluto por el producto de (2g-2) y el rango del espacio simétrico Hermítico asociado a G. Los objetos cuyo invariante alcanza la cota son llamados maximales.
- La correspondencia de Cayley, para objetos maximales y grupos de tipo tubo. La transformada de Cayley relaciona la realización de Harish-Chandra de G/H como dominio simétrico acotado con un semiplano superior generalizado. En el caso de tipo tubo, este semiplano es un dominio de tipo tubo sobre un cono que tiene como grupo de isometrías H*, el dual no compacto de H. Esto se refleja a nivel de espacios de móduli y así, el espacio de móduli maximal estudiado se inyecta en el espacio de móduli de pares de Higgs para el grupo H* donde el campo de Higgs toma valores en la segunda potencia del canónico.
- La rigidez para grupos de tipo no tubo. Todo G-fibrado de Higgs poliestable es estrictamente poliestable (no hay objetos estables) y el espacio de móduli de estos objetos está relacionado con el espacio de móduli del subgrupo maximal de tipo tubo.
Estos resultados eran conocidos para los grupos clásicos gracias a los trabajos de Bradlow, García-Prada, Gothen y Mundet i Riera, en los que las técnicas utilizadas hacían uso de las particularidades de cada grupo, como la representación estándar. Por una parte, la presente tesis extiende estos resultados a los casos excepcionales y a los cocientes y recubridores finitos de los grupos clásicos, grupos que no son necesariamente lineales. Por otra parte, las demostraciones utiilizan las características y estructura comunes a los espacios simétricos Hermíticos, como la descripción general de los sistemas restringidos de raíces y la estructura de álgebra de Jordan unitaria subyacente. Son precisamente estas técnicas intrínsecas las que permiten una generalización a todos los grupos.
Los espacios de móduli de fibrados de Higgs son especialmente relevantes, entre otras razones, por su relación con las representaciones del grupo fundamental de la superficie X y estas, por su relación con estructuras geométricas.
