Resumen de Point-set manifold processing for computational mechanics: thin shells, reduced order modeling, cell motility and molecular conformations
Raúl Daniel Millán
En diversas aplicaciones de interés práctico se requieren realizar cálculos sobre variedades suaves de pequeña dimensión, d, inmersas en espacios de gran dimensión, D. A menudo, no se posee una descripción suave de estas variedades, en su lugar estas son descriptas por un conjunto de puntos no estructurados en alta dimensión, lo que conlleva serias dificultades. En esta tesis se utilizan métodos de aprendizaje estadístico y métodos sin malla para construir una aproximación continua de la variedad a través del solapamiento de descripciones paramétricas suaves. Una ventaja inherente de esta aproximación es el hecho de no utilizar una parametrización global, siendo tal aproximación aplicable a variedades de cualquier género y de geometría compleja. La metodología combina cuatro ingredientes: (1) partición del conjunto de puntos en subregiones de topología simple, (2) detección automática de la estructura geométrica que describe la variedad localmente, por medio de técnicas no lineales de reducción de la dimensión, (3) parametrización local de la variedad utilizando aproximantes suaves sin malla (en particular métodos de máxima entropía local), y (4) unión de las representaciones locales de la variedad por medio de la partición de la unidad. La generalidad, precisión y flexibilidad de la metodología propuesta se ilustra a través de cuatro problemas de distinta naturaleza. En primer lugar, se aplica la metodología en problemas de láminas delgadas modeladas mediante la teoría de Kirchhoff-Love, (d=2, D=3). Se consideran problemas clásicos de láminas lineales como así también problemas no lineales, con los cuales se ilustra la habilidad del método para manipular superficies descriptas por puntos que poseen gran complejidad geométrica o una difícil topología. En segundo lugar, el método se aplica en la reducción no lineal de modelos. En particular, se considera el caso de grandes deformaciones elastodinámicas de un material neo-hookeano (d=2, D=10000), los resultados se comparan con los obtenidos por métodos estándares basados en el Análisis de Componentes Principales (PCA, por sus siglas en inglés). El tercer problema se centra en el estudio de los mecanismos de locomoción de cuatro microorganismos, de la familia de Euglenids. Esto se lleva a cabo por medio de un análisis cuantitativo de videos experimentales que describen los cambios de forma que realizan para nadar (d=1, D~30000). Finalmente, en el campo de dinámica molecular, se determina de forma automática las variables colectivas que describen las conformaciones moleculares (d=1¿6, D~30, 1000), las cuales pueden ser empleadas para mejorar el muestreo y acelerar la dinámica molecular.
