Resumen de On the number of limit cycles for some families of planar differential equations
Las ecuaciones diferenciales ordinarias consideradas en esta tesis son, o pueden ser vistas como, un sistema plano de EDO¿s autonomas, x0 = f(x, y), y0 = g(x, y), (1) donde x(t), y(t), f(x, y) y g(x, y) son funciones reales.
Esta tesis trata varios aspectos de los ciclos límites de algunas familias particulares de ecuaciones direnciales. Debido a la independencia de los diferentes problemas propuestos, ha sido escrita de manera modular, siendo cada capítulo independiente del resto. Y, por tanto, pudiendo ser leida en cualquier orden.
En el Capítulo 1, se estudian los ciclos límite que aparecen tras la perturbación de un centro lineal con puntos singulares extras. El sistema perturbado considerado es x0 = yK(x, y) + eP(x, y), y0 = ¿xK(x, y) + eQ(x, y), (2) donde K es una familia específica de polinomios, P y Q son polinomios cualquiera y e es un número real suficientemente pequeño. Este sistema diferencial tiene un centro en el origen, equivalente al generado por el Hamiltoniano H(x, y) = x2 + y2. Y los puntos singulares extra previamente mencionados son los que satisfacen K(x, y) = 0. De hecho, se analiza la integral Abeliana asociada a (2), como fue propuesto por Arnold en el enunciado del problema 16 débil de Hilbert.
En el capítulo dos, se extienden algunos resultados clásicos sobre existencia y unicidad de ciclos límites en la ecuación de Liénard con phi-laplaciano, (phi(x0))0 + f(x) psi(x0) + g(x) = 0. (3) Los resultados incluidos en este capítulo incluyen una compactificación ad hoc diseñada con dos objetivos. En primer lugar para unificar los diferentes comportamientos de las funciones en (3) que satisfacen nuestras hipótesis. Y en segundo, para hacer posible la comprensión del diagrama de fase global.
El objetivo del tercer capítulo es obtener un conocimiento global de la curva de conexión homoclínica en el primer cuadrante del espacio paramétrico, donde los ciclos límite pueden aparecer, en el sistema asociado a la forma nomal de Bogdanov-Takens, x0 = y, y0 = ¿n + by + x2 + xy, (4) donde los parámetros, n y b, son números reales. Cuando los parámetros se anulan, el origen muestra una estructura global de punto cúspide, un tipo de punto singular degenerado. Pero si se despliega el campo de vectores, aparecen varias curvas de bifurcación, una bifurcación de Hopf, una bifurcación silla-nodo y una curva de conexión homoclínica.
