Weighted inequalities in Fluid mechanics and general relativity: Carleman estimates and cusped travelling waves

• Autores: Bruno Alexis Vergara Biggio
• Directores de la Tesis: Alberto Enciso (dir. tes.) , Luis Guijarro Santamaría (dir. tes.)
• Lectura: En la Universidad Autónoma de Madrid ( España ) en 2019
• Idioma: inglés
• Número de páginas: 121
• Tribunal Calificador de la Tesis: Daniel Peralta Salas (presid.) , Alberto Ruiz González (secret.) , Shao Arick (voc.)
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  • Tesis en acceso abierto en: Biblos-e Archivo
• Resumen

  • Los resultados de esta tesis están divididos en dos bloques dedicados, respectivamente, al estudio de ciertos aspectos relativos a ecuaciones de evolución geométricas en derivadas parciales y de ondas viajeras con singularidades. Mientras que los problemas del primer bloque aparecen naturalmente en el contexto de la Relatividad General, en la segunda parte vamos a tratar con soluciones singulares a un modelo de ondas de agua superficiales y probaremos una conjetura reciente en Mecánica de Fluidos. Los dos bloques están entonces conectados a través de un tema central que se puede describir como ecuaciones de evolución con comportamiento singular, entendido de manera amplia. De este modo, las cuestiones estudiadas aquí se pueden relacionar mediante algunas técnicas analíticas: el estudio de operadores no locales, el uso de desigualdades con pesos y el tratamiento de singularidades de naturaleza muy diferente.

    El primer bloque trata ecuaciones en derivadas parciales que están relacionadas con la Relatividad General. En primer lugar veremos cómo emplear técnicas de estimaciones de Carleman para demostrar propiedades de observabilidad de frontera para ecuaciones de onda con una fuerte motivación geométrica. En términos generales, observabilidad es sinónimo de unicidad cuantitativa; define una noción de continuación _única en la que los datos de Cauchy prescritos controlan una energía signicativa de la solución, a menudo una para la cual la ecuación define un problema bien planteado. La principal característica de las ecuaciones estudiadas en la primera parte de la tesis es que son muy singulares en el borde de un conjunto. Típicamente, estas se pueden escribir como una parte regular más un potencial fuertemente singular que depende de la distancia a la frontera. El caso más interesante ocurre cuando el potencial escala exactamente igual que el operador de Laplace-Beltrami y cuando diverge en una variedad de codimension uno, en cuyo caso se denomina críticamente singular. El principal objetivo en esta parte es desarrollar nuevas estimaciones de tipo Carleman adaptadas a la geometría de la singularidad. Estas estimaciones nos proveen así de un mejor entendimiento de las propiedades de observabilidad de frontera de ecuaciones de evolución con potenciales críticamente singulares.

    Relacionado con lo anterior, un problema interesante en geometría conforme es probar un análogo Lorentziano de la relación entre Laplacianos fraccionarios y operadores covariantes conformes definidos en el borde de una variedad Riemanniana conforme compacta de tipo Einstein. Aquí veremos que las potencias fraccionarias del operador de ondas estándar (en el espacio plano) se pueden construir como operadores de Dirichlet-Neumann asociados con ciertas ecuaciones de onda en geometrías de tipo anti-de Sitter. Esta construcción es interesante no solo desde un punto de vista puramente matemático, sino que también por la profunda conexión con algunas preguntas de física teórica. De hecho, como recordaremos mas tarde, los espacios de tipo anti-de Sitter juegan un papel fundamental en cosmología debido a su conexión con la celebrada conjetura AdS/CFT de teoría de cuerdas. Por otra parte, la conexión con las ecuaciones de antes es clara viendo que la construcción de estos operadores se reduce a manejar un problema de frontera que consiste en una ecuación de ondas con masa en el que hay un potencial con una singularidad crítica y datos de borde en el infinito (conforme).

    La otra parte central de la tesis está dedicada al estudio de Mecánica de Fluidos y, más específicamente, al análisis de un modelo de ecuación dispersiva no local conocida como ecuación de Whitham. Este es un modelo de ondas superficiales en una dimensión con propiedades matemáticas ricas, incluyendo la existencia de ondas viajeras y solitarias, así como ruptura de ondas y singularidades. En relación con esto _ultimo, nuestro interés en la ecuación de Whitham proviene de una conjetura sobra la onda de altura máxima con cúspide. De manera similar al famoso caso de las ondas de agua de Stokes, se conjeturó que las ondas de Whitham de forma extrema, esto es la que alcanzan máxima altura, tienen un perfil convexo entre picos consecutivos.

    En la parte final de la tesis probaremos que esta conjetura es cierta utilizando algunas propiedades estructurales de la ecuación y un análisis asintótico cerca de la singularidad muy cuidadoso. Por otra parte, la conjetura sugería que cerca de las crestas de las ondas de altura máxima se satisfacía una cierta expansión asintótica, la cual probamos construyendo una solución aproximada bastante complicada con las propiedades deseadas. Además del comportamiento singular, una característica fundamental de la ecuación de Whitham es precisamente el término lineal que viene dado por un operador que suaviza, es no local y además inhomogéneo, que hace que la ecuación sea débilmente dispersiva.