Resumen de xplicit integration of some integrable systems of classical mechanics
Inna Basak Gancheva
El objetivo principal de la tesis es el estudio analítico y geométrico de varios integrables finito-dimensional sistemas dinámicos de la mecánica clásica, que están estrechamente relacionados, a saber: - La generalización de los clásicol Euler sistema: el Zhukovski-Volterra (ZV) sistema que describe el movimiento libre de una giróstato, es decir, un cuerpo rígido llevar un rotor simétrico cuyo eje se fija en el cuerpo; - El caso de Steklov-Lyapunov sistema integrable de las ecuaciones de Kirchhoff describe el movimiento de un cuerpo rígido en un líquido incompresible ideal; - Una generalización trivial del sistema integrable de Steklov-Lyapunov encontrado por V. Rubanovskii: describe el movimiento de un giróstato en un ideal líquido en presencia de una circulación distinta de cero.
En nuestro estudio hemos obtenido una solución explícita de la Zhukovski-Volterra [2] y la Steklov-Lyapunov sistemas en términos de sigma- o theta-funciones, y realizó un análisis de bifurcación de estos sistemas, así como de la Rubanovskii generalización.
Hay que señalar que la solución del sistema de ZV fue dado por primera vez por V.
Volterra, que, sin embargo, presenta sólo su estructura, pero no las fórmulas explícitas.
La tesis ofrece una solución nueva alternativa de este sistema mediante el uso de una parametrización algebraica del momento angular. Esto nos ha permitido encontrar polos y ceros del momento angular en forma algebraica. La parametrización también se utilizó para encontrar una solución explícita para el ángulo de Euler precesión, y, en consecuencia, para resolver las ecuaciones que describen el movimiento de Poisson de la giróstato en el espacio.
Del mismo modo, al dar una interpretación geométrica de las variables de separación, y el uso de las funciones de las raíces Weierstrass, hemos reconstruido la thetafunctional solución de los sistemas de Steklov-Lyapunov, que fue dado por primera vez por F. Kotter en 1899 sin una derivación ([3]).
En el estudio de las bifurcaciones y las singularidades del sistema ZV hemos utilizado su estructura bi-Hamiltona ([1]). Según el nuevo método, la solución es crítica, si existe un parámetro de la familia correspondiente paréntesis de Poisson, para que el rang de paréntesis con este parámetro disminuye. La aplicación de nuevas técnicas, basadas en la propiedad del sistema de ser bi-Hamiltona, se construye el diagrama de bifurcación del sistema ZV. También encontramos la puntos de equilibrio del sistema, verifique la condición de no-degeneración de estos puntos, en el sentido de la teoría de la singularidad de los sistemas hamiltonianos, determinar los tipos de puntos de equilibrio, y comprobar si son estables o no. También describe el tipo topológico de los niveles comunes de los primeros integrales del sistema de ZV. Problemas similares se han discutido en muchas papeles, pero el objetivo de nuestro trabajo es estudiar el sistema y demostrar la técnicas anteriores. Es un hecho notable que el uso de la propiedad bi-Hamilton permite responder a todas las preguntas anteriores, prácticamente sin ningún cálculo difícil.
El mismo método se aplica para construir el diagrama de bifurcación para el Steklov-Lyapunov del sistema, describir las zonas de movimiento real, y analizar la estabilidad de soluciones críticas de periódicos.
A continuación, el análisis de bifurcación se extiende a la generalización Rubanovskii.
Aquí la principal dificultad es que el número de diferentes tipos de el diagrama de bifurcación es bastante alto, por lo que sólo se describen las propiedades generales de las curvas de bifurcación, hacer análisis de estabilidad para trayectorias cerradas, y equilibrios.
