Connectivity of julia sets of transcendental meromorphic functions

• Autores: Jordi Taixes Ventosa
• Directores de la Tesis: Xavier Ejarque i Ribera (dir. tes.) , Núria Fagella Rabionet (dir. tes.)
• Lectura: En la Universitat de Barcelona ( España ) en 2011
• Idioma: inglés
• Tribunal Calificador de la Tesis: Krzysztof Baranski (presid.) , Ernest Fontich Julià (secret.) , Antonio Garijo Real (voc.)
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• Resumen

  • Se define el método de Newton asociado a una función en una variable compleja f como el sistema dinámico Nf(z) = z ¿ f(z) / f'(z). Como algoritmo para encontrar raíces de funciones, una cuestión fundamental es entender la dinámica de Nf alrededor de sus puntos fijos, ya que éstos corresponden a las raíces de la función f. En otras parabras, queremos entender las cuencas de atracción de Nf, es decir, aquellos conjuntos de puntos que convergen a las raíces de f bajo la iteración de Nf.

    Por otra parte, las cuencas de atracción son solamente un tipo de componente estable o componente del conjunto de Fatou, que se define como el conjunto de puntos para los que la familia de iterados está definida y es normal localmente. El conjunto de Julia o conjunto de caos es su complementario (tomado en la esfera de Riemann).

    El estudio de la topología de estos dos conjuntos es uno de los temas centrales de la Dinámica Holomorfa. En 1990, Mitsuhiro Shishikura demostró que, para todo polinomio no constante P, el conjunto de Julia de NP es conexo. En realidad, demostró este resultado como consecuencia de un teorema mucho más general sobre funciones racionales: Si el conjunto de Julia de una función racional R es no conexo, entonces R tiene almenos dos puntos fijos débilmente repulsores.

    Con el objetivo final de demostrar la versión trascendente de este teorema, en esta tesis vemos que: Si una función meromorfa trascendente tiene o bien una cuenca de atracción no simplemente conexa, o bien una cuenca parabólica no simplemente conexa, o bien una componente de Fatou no simplemente conexa con imagen simplemente conexa, entonces la función tiene almenos un punto fijo débilmente repulsor.

    La demostración de este resultado se basa fundamentalmente en dos técnicas: la cirugía cuasiconforme y el estudio de la existencia de puntos fijos virtualmente repulsores.

    Concluimos la Tesis con una idea de la estrategia para la demostración del caso de los anillos de Herman, así como algunas ideas sobre el caso de los dominios de Baker, que queda como trabajo para un proyecto futuro.