Resumen de Monodromías geométricas en familias de curvas de género 4
Isabel Silvana Berna Sepulveda
El objetivo de la tesis es el calculo efectivo de la monodromía geométrica y, equivalentemente, en el grupo fundamental, de familias de superficies de Riemann compactas conexas (curvas algebraicas complejas) de género 4.
El salto de cálculos previos hasta género 2 a género 4 se realiza aprovechando la estructura trigonal (de recubrimiento triple de la esfera de Riemann) que tienen las curvas en género 4: tienen dos estructuras trigonales, y en una familia se puede hacer un cambio de base 2:1 para pegar las estructuras de recubrimiento trigonal de las fibras y obtener una familia de recubrimientos trigonales de la esfera de Riemann. El recubrimiento trigonal genérico para curvas de género 4 tiene 12 puntos de ramificación simple. En una familia de recubrimientos trigonales hay un divisor de ramificación de grado relativo 12 en la familia de esferas de Riemann recubiertas tal que la monodromía de trenzas de este divisor determina la monodromía geométrica de la familia.
El resultado teórico principal de esta memoria es la construcción de una familia universal de curvas trigonales de género 4, en el esquema de recubrimientos trigonales de Hurwitz, pero de dimensión más reducida, monodromía geométrica calculable, y que mantiene una propiedad de universalidad topológica: toda familia de recubrimientos trigonales de género 4 se obtiene por pullback de una aplicación de la base a la de esta familia universal, más deformación. Completa el resultado teórico principal el cálculo de la monodromía en el grupo fundamental de esta familia universal. Este cálculo se hace siguiendo la monodromía de trenzas del divisor de ramificación de la familia, y levantandola a las cubiertas triples. El cálculo de la monodromía geométrica de la familia universal no ha podido ser completado, quedando pendiente una conjetura sobre el estabilizador de una acción del grupo de trenzas en el esquema de Hurwitz de cubiertas triples. Los cálculos realizados permanecen válidos sea cual sea la respuesta: en caso de ser cierta son cálculo completo de la monodromía de la familia universal y en caso contrario hay que añadir algunos cálculos de monodromía análogos a los aquí realizados.
Los resultados teóricos de la tesis se completan con trabajo de computación efectiva sobre ellos. Se desarrolla una librería de funciones para el programa Singular que hallan la estructura trigonal de curvas de género 4 a partir de su ecuación canónica y, con la ayuda de un cálculo auxiliar en Pari-GP, determinan el divisor de ramificación relativo de una familia de curvas de género 4 canónicas. Esta librería se aplica al cálculo de estructuras trigonales y divisores de ramificación en familias de curvas de género 4, en ejemplos académicos y en familias de interés geométrico: - la familia de curvas de género 4 que describe un pincel de Lefschetz en la superficie K3 de género 4 (cuya monodromía geométrica es necesaria para demostrar la versión de Paul Seidel de la conjetura de la 'Mirror Symmetry'), - una familia de curvas de género 4 deformación de la curva de Bring.
Se desarrolla además una librería de funciones para el programa MATLAB que calculan la monodromía de trenzas de un divisor en C^2. Se basa en la integración de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias a valores complejos, que sigue la evolución de las ramas del divisor. Se ha desarrollado un integrador numérico de paso variable combinando un método de Runge-Kutta con el uso de la ecuación del divisor como integral primera de las soluciones. El sistema de edos se integra sobre caminos de la base obtenidos a partir de una descomposición celular de Voronoi para los valores de ramificación de la familia. Se identifica la monodromía de trenzas a partir de la posición de las ramas del divisor a lo largo de estos caminos. Esta librería se aplica en la tesis a ejemplos académicos de grados 6-8, identificando la monodromía de trenzas en estos ejemplos.
