Resumen de Independent component analysis for time series
El objetivo de esta tesis es aplicar el análisis de componentes independientes (ICA) sobre datos multivariantes de series temporales. También, se propone un nuevo procedimiento para predecir un vector de series temporales a partir de un número reducido de componentes independientes.
En el capítulo 1 analizamos la relación entre ICA y métodos clásicos de análisis multivariante: ICA es una extensión del análisis de componentes principales que calcula los componentes independientes (ICs) como la rotación que maximiza la independencia de los componentes principales; ICA puede definirse como un modelo de análisis factorial no-Gaussiano (\cite{HyvarinenKano}); ICA es un caso particular de método de búsqueda de proyección cuando la independencia de los componentes se mide en términos de su no-Gaussianidad; ICA, al igual que el algoritmo de Peña y Prieto (2001) detecta valores atípicos al proyectar los datos en las direcciones de máxima kurtosis. Además, en este capítulo, tratamos el problema de la reducción de la dimensionalidad en series temporales, describiendo brevemente algunos modelos multivariantes como el análisis canónico y el modelo factorial dinámico. Finalmente, comentamos los trabajos que se han propuesto en la literatura para aplicar ICA sobre datos con estructura temporal.
En el capítulo 2 proponemos un nuevo modelo de factores con heterocedasticidad condicionada, el modelo GICA-GARCH. Este modelo asume que las observaciones están generadas por una combinación lineal de factores no observados, que son independientes y condicionalmente heterocedásticos. El modelo GICA-GARCH supone que existe un número reducido de factores que explican los movimientos comunes de los datos observados y que tienen heterocedasticidad condicionada. Además, asume que la matriz de covarianzas condicionada de las observaciones es diagonal, y propone aproximarla mediante la combinación lineal de las varianzas condicionadas de los factores comunes. La ventaja del modelo GICA-GARCH con respecto a otros modelos de factores GARCH reside en el uso de ICA para la estimación de los componentes comunes. Primero, tal y como muestran los resultados de las simulaciones, ICA reproduce bastante bien el exceso de kurtosis y obtiene 'buenos' estimadores de los componentes no-Gaussianos. Segundo, como los ICs son estadísticamente independientes, se pueden modelar por separado, ajustando distintos modelos ARMA-GARCH a cada uno de ellos, y así se simplifica el problema de estimar un modelo GARCH multivariante, reduciéndolo a la estimación de unos pocos modelos ARMA-GARCH univariantes. Por último, tal y como se muestra en la aplicación empírica, las predicciones un paso adelante de los rendimientos del IBEX 35 dadas por el modelo GICA-GARCH mejoran las dadas por los modelos O-GARCH (Alexander, 2001) y CUC-GARCH (Fan et al., 2008).
En el capítulo 2 también presentamos una comparativa entre el modelo GICA-GARCH y otros modelos de factores GARCH, distinguiendo entre los que suponen estructura de factores en la distribución no condicionada de los datos, como el modelo de Diebold y Nerlove (1989) y el modelo DF-GARCH (Alessi et al., 2006), y los que la asumen en la distribución condicionada, como el modelo FACTOR-ARCH (Engle, 1987), la familia de modelos GARCH ortogonales (Alexander, 2001; Van der Weide, 2002; Lanne y Saikkonen, 2007), y el modelo CUC-GARCH (Fan et al., 2008).
En el capítulo 3, presentamos un nuevo procedimiento, llamado FOTBI, para aplicar ICA a series temporales. Dado un conjunto de series temporales multivariantes, FOTBI es un algoritmo diseñado para extraer los componentes independientes y no-Gaussianos que generan dichos datos. Para ello, FOTBI propone la diagonalización conjunta de varias matrices de cumulantes temporales de cuarto orden. Así, FOTBI utiliza tanto la no-Gaussianidad como la estructura temporal de los datos, y puede verse como una extensión del algoritmo JADE (Cardosoy Souloumiac, 1993) que sólo tiene en cuenta la no-Gaussianidad de los datos, y del algoritmo SOBI (Belouchrani et al., 1997) que se basa en la estructura temporal de las observaciones. Los experimentos de Monte Carlo muestran la eficiencia del FOTBI para estimar componentes independientes que son series temporales no lineales.
El capítulo 4 trata el problema de predicción y extracción de señal en series temporales multivariantes. Se presenta ICA como un procedimiento automático de extracción de señal. Se aplica ICA al problema de descomposición de una serie temporal, y se estiman los componentes de interés, tendencia, ciclo y estacionalidad, sin asumir ninguna estructura a-priori. La ventaja de ICA es que los ICs son, por hipótesis, estadísticamente independientes, y por tanto, los estimadores ICA para la tendencia, la estacionalidad, y el ciclo, van a ser independientes entre sí de modo natural. Los resultados de las simulaciones demuestran que FOTBI puede considerarse un primer paso para definir un procedimiento automático de extracción de señal. Este resultado se confirma en la aplicación empírica, al identificar los componentes de tendencia y estacionalidad de las series del IPI de Alemania, Italia, Francia, y España.
También en el capítulo 4 se propone un procedimiento para predecir un conjunto multivariante de series temporales utilizando sólo un número reducido de ICs. Nuestro método se basa en la independencia estadística de los ICs. La idea es predecir los ICs utilizando modelos univariantes y utilizar esas predicciones de modo que, combinándolas con los pesos de la matriz de carga, se obtenga las predicciones para las series originales. Para analizar la eficiencia de nuestro procedimiento, predecimos las cuatro series del IPI mencionadas anteriormente utilizando los componentes de tendencia y estacionalidad estimados con ICA. Los resultados muestran el buen comportamiento del FOTBI, especialmente en el medio (h=6) y largo (h=12) plazo. En el corto plazo (h=1,3) no hay diferencias significativas entre las predicciones dadas por FOTBI y las dadas por los modelos de referencia de los IPIs (modelos ARIMA univariantes identificados con la especificación automática del programa TRAMO/SEATS).
