Resumen de Approximation des équations intégrales de Fredholm par des quasi-interpolants splines et application à l’équation de Love
Fadila El Mokhtari
Las ecuaciones integrales, aquéllas en las que la función incógnita aparece bajo el signo integral, están estrechamente ligadas a variados problemas que pueden ser expresados tanto en términos de ecuaciones diferenciales ordinarias o directamente, integrales.
Este tipo de ecuaciones presenta un gran interés per se y por sus aplicaciones en diferentes campos de la Matemática Aplicada, la Física, la Biología y la Ingeniería.
Por otra parte, con el desarrollo de las capacidades de cálculo de los actuales equipos informáticos, los métodos de resolución numérica de ecuaciones integrales juegan un papel muy importante, pudiéndose resolver problemas que no lo eran en un pasado reciente.
Un caso particular de ecuación integral bien conocido, y que será el objetivo principal de esta tesis, es el de la ecuación de Love, estudiada por primera vez por E. R. Love (1912-2001) en 1949 [1], que surge en relación con el problema consistente en determinar la capacidad de un condensador de placas circulares.
Otro objetivo de esta tesis es resolver numéricamente ecuaciones integrales lineales y no lineales de Fredholm. Los métodos más utilizados para ello son los de núcleo degenerado, los métodos de cuadratura y los métodos de proyección.
Los métodos de núcleo degenerado son los más simples de implementar. Se basan en la aproximación del núcleo de la ecuación integral mediante algún procedimiento, como puede ser la interpolación. Los métodos de cuadratura consisten en aproximar el operador integral mediante una suma finita y buscar la solución aproximándola en un número finito de puntos, lo que conduce sistemáticamente a la resolución de un sistema de ecuaciones algebraicas. En lo que respecta a los métodos de proyección, la estrategia consiste en proyectar la ecuación integral sobre un subespacio funcional de dimensión finita, aproximando la solución exacta mediante una combinación lineal de los elementos de una de sus bases y trabajando con el residuo de la aproximación.
Los resultados presentados en esta tesis tienen por objetivo desarrollar algunos métodos ya indicados en combinación con quasi-interpolación spline sobre particiones uniformes y no uniformes y, por otra parte, proponer y analizar nuevos métodos basados en el uso de quasi-interpolación bivariada para mejorar el orden de convergencia de los métodos. La quasi-interpolación juega un papel muy importante dado que proporcionan aproximaciones casi óptimas, siendo pequeña la norma infinito del operador.
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Esta memoria está formada por cinco capítulos.
Capítulo 1. Preliminares El capítulo está consagrado a presentar los resultados necesarios que se aplicarán en los capítulos siguientes. En primer lugar, se presentan los principales sobre ecuaciones integrales, comenzando por una clasificación de este tipo de ecuaciones, y dando algunos resultados teóricos clásicos sobre ecuaciones de Fredholm lineales y no lineales [1-6]. A continuación, se pone el acento en la ecuación de Love, presentando su utilidad en el cálculo de la capacidad de un condensador formado por dos placas circulares. Finalmente, se dan algunos resultados sobre espacios de funciones spline en una variable y sus bases de B-splines y también sobre la construcción de quasi-interpolantes spline discretos sobre una subdivisión, en general no uniforme, de un intervalo acotado. Estos quasi-interpolantes son la base para la resolución numérica de las ecuaciones integrales de Fredholm, en particular la de Love.
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Capítulo 2. Resolución de la ecuación de Love mediante quasi-interpolantes spline En este capítulo se describe un método de núcleo degenerado que permite aproximar la solución de la ecuación integral de Love. El método consiste en aproximar el núcleo k(x,t) de la ecuación actuando sobre la variable t (aproximación por la derecha). Para ello se consideran quasi-interpolantes spline clásicos y superconvergentes. Estos últimos tienen en ciertos puntos un orden de aproximación una unidad superior al orden de aproximación global. Se aplican quasi-interpolantes cuadrático y cúbico y, además, uno cúbico superconvergente. Este procedimiento conduce a la resolución de un sistema de ecuaciones lineales cuyos coeficientes son valores de ciertas integrales, que son calculados explícitamente en el caso cuadrático y aproximados mediante una fórmula de cuadratura numérica muy eficaz en los casos cúbico y cúbico superconvergente.
El capítulo concluye con resultados numéricos que ilustran los órdenes de convergencia teóricos, además de con una comparación con un resultado obtenido por Love [42]. Se constata que la comparación es muy satisfactoria y que el método de aproximación por la derecha da los mejores resultados.
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Capítulo 3. Resolución de la ecuación de Love con pequeño parámetro En este capítulo se trata el caso singular de la ecuación de Love, es decir, cuando el parámetro d tiende a cero.
Utilizando el hecho de que la solución u(x) tiende a 1/2 para x∊(-1,1) cuando el parámetro d tiende a cero, se ha considerado una nueva función incógnita v(x)=u(x)-1/2 y aplicado el método de integración producto basado en un quasi-interpolante spline discreto cuadrático sobre una partición no uniforme apropiada para aproximar la función v(x) y, en consecuencia, u(x).
Además, se ha probado que el método tiene orden de convergencia O(h^3) y se ha estudiado el condicionamiento de la matriz del sistema lineal asociado. El estudio teórico ha sido enriquecido con ejemplos numéricos y los resultados obtenidos se han comparado con otros existentes en la literatura.
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Capítulo 4. Resolución numérica de ecuaciones integrales de Fredhom mediante quasi-interpolantes bivariados En este capítulo nos interesamos en la aproximación de las ecuaciones integrales lineales de Fredholm de segunda especie con núcleo suficientemente regular y término independiente continuo.
Para resolver este problema utilizamos dos métodos basados en quasi-interpolantes bivariados: el producto tensorial y la suma booleana de dos quasi-interpolantes spline univariados.
Estudiamos las estimaciones de error producidas por la aplicación de estos dos métodos. Los resultados teóricos obtenidos son ilustrados por tests numéricos. Para mostrar la eficiencia de estos métodos se comparan con otros publicados en la literatura y se aplican a la resolución de la ecuación de Love.
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Capítulo 5. Quasi-interpolantes spline no uniformes para la resolución de ecuaciones integrales de Hammerstein Este capítulo está dedicado a la resolución numérica de ecuaciones integrales de Hammerstein.
Para resolverla numéricamente se utilizan quasi-interpolantes de grado par definidos sobre subdivisiones no uniformes.
En la primera parte del capítulo se construyen fórmulas de cuadratura basadas en quasi-interpolantes spline definidos sobre particiones no uniformes y se utilizan para aproximar el operador integral asociado a la ecuación.
A continuación se construye la solución aproximada utilizando el método de Nyström y se estudia el orden de aproximación del método definido. Se finaliza mostrando resultados numéricos muy satisfactorios, comparándolos con otros métodos de la literatura.
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