Resumen de Propiedad de punto fijo, normas equivalentes y espacios de funciones no- conmutativos.

Carlos Alberto Hernández Linares

• Sean C un conjunto y ... color: black; font-size: 11.5pt">T : C ? C un operador. Decimos que T tiene un punto fjo si existe x ? C tal que Tx = x. Algunas propiedades acerca del operador T y el dominio C pueden asegurar la existencia de puntos fjos. Cuando C es un subcon­junto cerrado de un espacio de Banach (X, l ·l), decimos que T es Lipschitziano si existe K ? R tal que lTx - Tyl? Klx - yl?x, y ? C. Si K< 1, al operador T se le llama una contracción. En este caso T tiene un único punto fjo por el Principio de Contracción de Banach, el cual fue probado por S. Banach en su tesis doctoral en 1922 [4]. Si K> 1, no se pueden obtener resultados generales que garanticen la existencia de puntos fjos. De hecho, para todo K> 1, es posible construir un operador Lipsichitziano defnido sobre la bola unidad de un espacio de Hilbert, con constante de Lipschitz igual a K y sin puntos fjos [48]. Además, P. K. Lin e Y. Sternfeld demostraron lo siguiente [58]: Si C es un subconjunto convexo y no compacto de un espacio de Banach X, entonces para todo K> 1 existe un operador T : C ? C cuya constante de Lipschitz es igual a K y tal que T no posee puntos fjos. Si K =1, se dice que el operador T es no expansivo. Una traslación en Rn es un ejemplo simple que muestra que el Principio de contracción de Banach no se extiende al marco de los operadores no expansivos. Sin embargo, algunos resultados positivos relativos a la existencia de puntos fjos para esta clase de operadoresfueron encontrados en 1965 por F.E. Browder [11] y D. G6hde [35] para espaciosde Banach uniformemente convexos y por \. Kirk [48] para espacios de Banach refexivos con estructura normal. Desde entonces, diversos autores han estudiado el problema de la existencia de puntos fjos para operadores no expansivos y varios resultados po­sitivos han sido obtenidos (ver por ejemplo [34, 50] y las referencias que en ellos se encuentran). Concretamente, se dice que un espacio de Banach X tiene la propiedad del punto fjo (FPP, por sus siglas en inglés) si todo operador no expansivo defnido de un conjunto convexo, cerrado y acotado en sí mismo tiene un punto fjo. Es bien sabido que la geometría de los espacios de Banach juega un papel importante para asegurar la FPP. Efectivamente, el resultado obtenido por Kirk [48] signifca que un espacio de Banach refexivo con estructura normal tiene la FPP. En particular, los espacios de Banach uniformemente convexos o uniformemente suaves tienen la FPP. Se sabe que muchas otras propiedades geométricas implican la FPP para espacios de Banachrefexivos (lapropiedaddeKadecKleeuniforme,lacondicióndeOpialuni­forme, la existencia de una base monótona e incondicional, etc.). Por otra parte, los espacios de Banach no refexivos clásicos e1, c0 y L1 no tienen la FPP (de hecho, L1 no satisface una condición más fuerte llamada la propiedad débil del punto fjo [2]). Por mucho tiempo, fue un problema abierto saber si todos los espacios de Banach con la FPP eran refexivos. En 2008, P.K. Lin [56] dio una respuesta inesperada a este problema: encontró el primer espacio de Banach no refexivo con la FPP. De hecho, el espacio de Banach dado por P. K. Lin es el espacio de sucesiones e1 dotado con la norma equivalente 8k ?|||x||| = sup |xn|k 1+8k n=k donde x =(xn) ? e1. Previamente había sido demostrado que existen espacios de Banach que no pueden renormarse para tener la FPP, por ejemplo, si ? es no numerable, todo renormamiento de e1(?) o de c0(?) contiene una copia asintóticamente isométrica de e1 o de c0 respectivamente y por lo tanto no hay normas equivalentes en estos espacios que posean la FPP. Más aún, todo renormamiento de el espacio de Banach e? contiene una copia de e1(?) para algún conjunto ? no numerable por lo cual e? es otro ejemplo de un espacio de Banach para el que no existen normas equivalentes que satisfagan la FPP. Por otro lado, T. Domínguez Benavides probó en [17] que todo espacio de Banach refexivo puede ser renormado para tener la FPP. Ésto sugiere la siguiente pregunta: ¿Qué espacios de Banach no refexivos pueden ser renormados para tener la FPP? El principal objetivo de esta Tesis es estudiar nuevas familias de espacios de Banach no refexivos que puedan ser renormados para tener la FPP. Principalmente obtendremos estos ejemplos entre los subespacios cerrados de L1(µ) o más general­mente de los espacios L1 no conmutativos. En el último capítulo retomaremos el espacio de sucesiones e1 y encontraremos nuevos renormamientos, los cuáles nos per­mitirán observar que el conjunto de normas equivalentes sobre e1 con la FPP tiene algún "tipo" de estructura lineal. La Tesis está basada en los cuatro artículos [39, 40, 41, 42] y está dividida en cinco capítulos, como sigue: En el primer capítulo damos algunas defniciones y resultados generales acerca de la FPP y la teoría de renormamiento. También establecemos parte de la notación básica que emplearemos a lo largo de la presente memoria. En el segundo capítulo, encontramos nuevas clases de espacios de Banach no refexivos, los cuales bajo un renormamiento satisfacen la FPP. Nuestras técnicas están inspiradas por la empleada por P.K. Lin en [56], pero nuestras aplicaciones van más allá de el espacio de sucesiones e1 como ilustraremos a lo largo de varios ejemplos. Para hacer esto, consideramos una familia de seminormas {Rk(·)}k sobre ciertos espacios de Banach y una sucesión no decreciente (?k) ? (0, 1) tal que limk ?k =1. Defnimos una norma del modo siguiente |||x||| = sup ?kRk(x). k Probaremos que, si la familia de seminormas {Rk(·)} satisface algunas condiciones específcas entonces el espacio de Banach (X, |||·|||) tiene la FPP. Como un caso particular, recuperaremos el resultado de P. K. Lin y encontraremos nuevos renor­mamientos en e1 con la FPP ya que podremos considerar cualquier sucesión no decreciente (?k) en (0, 1) con límite igual 1 en lugar de la sucesión 8k Como otras 1+8k . aplicaciones, renormaremos el álgebra de Fourier­Stieltjes de un grupo compacto y separable para que tenga la FPP. Notemos que si G es localmente compacto, su álgebra de Fourier­Stieltjes B(G) tiene la FPP si y sólo si G es fnito [52]. También encontramos nuevas clases de espacios de Banach no refexivos con la FPP que no son isomorfos a ningún subespacio de e1, como por ejemplo, un renormamiento de X := ?1n epn . En el tercer capítulo, aplicaremos nuestro resultado a el caso particular de los subespacios de L1(µ) para una medida ?­fnita. Se conoce que un subespacio ce­rrado X de L1(µ) tiene la FPP si y sólo si X es refexivo [61, 22]. Obtenemos una condición sufciente que asegura que un subespacio no refexivo X de L1(µ) puede ser renormado para tener la FPP y damos algunos ejemplos nuevos de subespacios no refexivos de L1[0, 1], que no son isomorfos a e1, y que pueden ser renormados con la FPP. En la segunda sección de este capítulo, nos enfocamos en los espacios L1 no conmutativos asociados a una álgebra de von Neumann fnita. Estos espacios son los preduales de álgebras de von Neumann fnitas y pueden ser considerados como una extensión de los espacios de medida clásicos de Lebesgue (un ejemplo particular de una álgebra de von Neumann fnita es L?[0, 1] y su predual es L1[0, 1]). Se sabe que el predual de una álgebra de von Neumann M, L1(M) y todos sus subespacios no refexivos contienen copias asintóticamente isometricas de e1 [69] y consecuente­mente no tiene la FPP [23]. El propósito principal de esta sección es obtener una familia de normas equivalentes a la norma usual en L1(M), que tengan un mejor comportamiento con respecto a la existencia de puntos fjos para operadores no ex­pansivos defnidos sobre un conjunto convexo, cerrado y acotado de L1(M) y damos una condición sufciente (con un aspecto topológico) de manera que un subespacio no refexivo de L1(M) pueda ser renormado para satisfacer la FPP. Como conse­cuencia recuperamos los ejemplos dados en la sección previa para el caso particular de el espacio L1(µ) y deducimos que si M es un cualquier álgebra de von Neumann fnita y atómica, existen normas equivalentes en L1(M) satisfaciendo la propiedad del punto fIjo.En el cuarto capítulo, obtenemos un resultado acerca de renormamientos para la propiedad del punto fjo para operadores afnes y no expansivos en el contexto de los espacios L1 no conmutativos generados por una álgebra de von Neumann fnita. Podemos aplicar este resultado a el caso particular de L1(µ). Es importante mencionar que existen operadores afnes y l·l1­no expansivos en estos espacios que no tienen puntos fjos.

  En el quinto capítulo, nos concentramos en el espacio de sucesiones e1 y en el conjunto de normas equivalentes que no satisfacen la FPP. Cabe decir que en un articulo posterior, P. K. Lin [57] estableció cuatro condiciones las cuales son suf­cientes para garantizar que un renormamiento en e1 verifca la FPP. Comprobaremos que muchas de las normas obtenidas en este capítulo con la FPP no satisfacen las condiciones de P. K. Lin y que podemos sumar dos normas, una con la FPP y la otra sin satisfacer la FPP y seguir obteniendo un renormamiento con la FPP. Aún más, estudiamos el problema de estabilidad de la propiedad del punto fjo en el es­pacio de Banach e1. Este problema puede formularse como sigue: Sea X un espacio de Banach con la FPP e Y un espacio de Banach isomorfo a X. ¿Existe alguna constante K = K(X) > 1 tal que Y tenga la FPP siempre que d(X, Y )