Resumen de Boundedness of fractional elliptic and parabolic operators on Lebesgue and Hölder spaces. A semigroup approach
- español
El hilo conductor de esta tesis es el lenguaje de semigrupos, una t ecnica general y uni - cadora para formular y analizar propiedades fundamentales de operadores fraccionarios.
Hemos usado este enfoque para tratar con diferentes problemas. El primer cap tulo est a dedicado a las derivadas fraccionarias discretas. Las hemos de nido por medio de semigrupos y hemos visto que aproximan a las derivadas fraccionarias continuas. Tambi en hemos obtenido principios de comparaci on y del m aximo y resultados de regularidad para las potencias fraccionarias. Estos resultados nos permiten probar la coincidencia puntual de las derivadas de Marchaud y de Gr unwald-Letnikov. En el segundo cap tulo consideramos operadores de Schr odinger en Rn con n 3, esto es, L = � +V , donde V es un potencial no negativo que satisface una desigualdad de H older inversa. Hemos encontrado la de nici on puntual apropiada de los espacios de Lipschitz (o H older) en el contexto de Schr odinger para 0 < < 2. En segundo lugar, hemos de nido para cualquier > 0, nuevos espacios Lipschitz adaptados a L por medio de los semigrupos del calor y del Poisson. Hemos probado que de hecho estos espacios coinciden con los de nidos puntualmente. Adem as, usamos estas nuevas de niciones de espacios Lipschitz a trav es de semigrupos para obtener resultados de regularidad para potencias fraccionarias de los operadores de Schr odinger. En el tercer cap tulo tratamos con el operador de Hermite, un operador de Schr odinger del que se conocen muchas propiedades interesantes. Estas propiedades nos han permitido obtener mejores resultados en este caso que para operadores de Schr odinger generales. Hemos obtenido una caracterizaci on completa de los espacios Lipschitz adaptados al operador de Hermite (tambi en en el caso parab olico) y hemos obtenido resultados de regularidad para operadores fraccionarios de Hermite en estos espacios. Finalmente, el ultimo capitulo se dedica al estudio de la existencia de soluciones cl asicas de la ecuaci on de Bessel parab olica y la acotaci on de las transformadas de Riesz en espacios Lp (mixtos) y con pesos.
- English
The connecting thread of this thesis is the semigroup language, a unifying and general technique to formulate and analyze fundamental properties of fractional operators. We have used this approach to deal with di erent problems. The rst chapter is devoted to the discrete fractional derivatives. We have de ned them via semigroups and we have proved that they approximate the continuous fractional derivatives. We have also obtained comparison and maximum principles and regularity results for the fractional powers. These results also allow us to prove the pointwise coincidence of the Marchaud and Gr unwald-Letnikov derivatives. On the second chapter we consider Schr odinger operators on Rn with n 3, that is, L = �� + V , where V is a nonnegative potential satisfying a reverse H older inequality.
We have found the appropriated pointwise de nition of Lipschitz (or H older) classes in the Schr odinger setting for 0 < < 2. Secondly, we have de ned, for every > 0, new Lipschitz spaces adapted to L by means of the heat and Poisson semigroups. We prove that in fact these spaces do coincide with the ones de ned pointwise. Moreover, we use these new de nitions of Lipschitz spaces via semigroups to get regularity results of fractional powers of Schr odinger operators. On the third chapter we deal with the Hermite operator, a Schr odinger operator for which are known a lot of interesting properties. These properties have allowed us to get better results in this case than for general Schr odinger operators. We have got a complete characterization of Lipschitz spaces adapted to the Hermite operator (also in the parabolic case) and we have obtained regularity results for the Hermite fractional operators in those spaces. Finally, the last chapter is devoted to the study of the classical solvability of the parabolic Bessel di erential equation and the boundedness on (mixed) weighted Lp spaces of the associated Riesz transforms.
