Medidas autosemejantes con solapamiento: Dimensión, momentos y aproximación

• Autores: María de la Asunción Sastre Rosa
• Directores de la Tesis: Emilio Torrano Giménez (dir. tes.)
• Lectura: En la Universidad Politécnica de Madrid ( España ) en 2003
• Idioma: español
• Tribunal Calificador de la Tesis: Miguel Eugenio Reyes Castro (presid.) , Raquel Gonzalo Palomar (secret.) , Jaime Vinuesa Tejedor (voc.) , Manuel Moran Cabre (voc.) , Guillermo Tomás López Lagomasino (voc.)
• Enlaces
  • Tesis en acceso abierto en: Archivo Digital UPM
• Resumen

  • La tesis se desarrolla en el área de la teoría geométrica de la medida. En 1981, J. E. Hutchinson formalizó una teoría unificada sobre el estudio y la obtención de los conjuntos y medidas autosemejantes. La definición matemática de conjunto autosemejante, que allí se da, permite que las piezas en que se descompone el conjunto autosemejante, se corten, mientras la intersección sea pequeña en comparación con el conjunto. El problema del solapamiento consiste precisamente en estudiar estos conjuntos y medidas, cuando no se pone restricción en los cortes y falla la teoría de Hutchinson. Para abordar este problema el trabajo se centra en el estudio de las convoluciones infinitas de distribuciones de Bernoulli, que llamaremos ICBM (del inglés Inflnitely Convolution Bernoulli Measures), planteado ya en 1935 por B. Jessen y A. Wintner. Este es un ejemplo de medidas autosemejantes con solapamiento que, en principio, puede parecer bastante sencillo ya que se trata de medidas definidas en un intervalo acotado en R a partir de dos semejanzas con igual radio de contracción. Sin embargo, estas medidas se han estudiado durante más de sesenta años y siguen sin resolverse las principales cuestiones planteadas ya por A. Garsia en 1962. En el primer capítulo se describe con detalle el problema de las convoluciones de Bernoulli y los resultados que se han obtenido desde su planteamiento en 1935 hasta la actualidad. Se comienza con una introducción a la teoría de la medida. El capítulo segundo es una introducción la geometría fractal, marco en el que se desarrolla la investigación. El capítulo tercero comienza con la definición de sistemas equivalentes de funciones iteradas y el estudio de las propiedades que permiten obtener un sistema equivalente a uno dado. El método, que consiste en eliminar el solapamiento mediante sistemas equivalentes, es muy restrictivo. Se muestra, mediante un ejemplo, que puede ser efectivo en casos concretos. El resultado central de este capítulo es la aproximación de medidas autosemejantes con solapamiento mediante una sucesión de medidas autosemejantes con condición fuerte de separación, definidas a partir de los cilindros del sistema de funciones iteradas inicial. Para medidas autosemejantes en R, como es el caso de las convoluciones de Bernoulli, la existencia de esta sucesión depende de que se verifique una cierta propiedad que llamaremos F. Se prueba la propiedad F para el sistema de funciones iteradas correspondiente a la convolución infinita de Bernoulli para el inverso de la razón áurea. En el último capítulo se utilizan técnicas de la teoría de los polinomios ortogonales para estudiar las ICBM. El resultado central de este capítulo es el cálculo de una fórmula explícita para los momentos de la familia de convoluciones de Bernoulli. Ésta permite expresar los momentos de orden n de esas medidas como cociente de dos polinomios en la variable r. Se prueba que el coeficiente conductor del polinomio numerador es en valor absoluto el número de Euler E2n. En la siguiente sección se deducen nuevas relaciones para los números de Bernoulli a partir de la fórmula que se ha obtenido para los momentos. A continuación se calcula el comportamiento asintótico de los momentos de las convoluciones infinitas de Bernoulli y de las medidas que se obtienen variando las probabilidades. En la última sección se presentan diferentes cálculos numéricos obtenidos a partir de las fórmulas desarrolladas a lo largo de este capítulo. Se muestra gráficamente la concordancia del teorema de Rakhmanov con los resultados de Erdüs. Por último, se aproxima la función de distribución y la función de densidad, en caso de existir, de las convoluciones de Bernoulli mediante el teorema de representación de Hausdorff con las fórmulas de los momentos obtenidas en las secciones anteriores.