Resumen de Generalización de estudiantes de 3º a 6º de educación primaria en un contexto funcional del álgebra escolar
Eder Pinto 
En esta memoria de investigación describimos la generalización de estudiantes de tercero a sexto de Educación Primaria (8-12 años), en el contexto del álgebra escolar. Actualmente, diferentes iniciativas promueven incorporar el pensamiento algebraico en Educación Primaria, donde la generalización es el aspecto central. Sin embargo, todavía faltan elementos que ayuden a incorporar el álgebra en este nivel educativo. Nos centramos en la generalización pues su consideración en estas edades permite enriquecer el conocimiento matemático de los estudiantes, favoreciendo que estos seleccionen información matemática relevante; adapten, ajusten y reorganicen experiencias previas; pongan atención a ideas, capacidades y propiedades involucradas en diferentes situaciones; mejoren su comprensión y herramientas para resolver problemas, entre otros. Con esta investigación proporcionamos evidencias que permiten comprender cómo un grupo de estudiantes atiende a las propiedades y relaciones en situaciones matemáticas específicas.
Conceptualmente, adoptamos las ideas de Kaput (2008) sobre su forma de entender el álgebra y el pensamiento algebraico; la generalización y su representación constituyen aspectos centrales. Específicamente, nos basamos en un enfoque funcional al pensamiento algebraico (también conocido como pensamiento funcional), donde la función es el contenido matemático clave para este tipo de pensamiento y los estudiantes deben atender a cómo dos o más cantidades varían simultáneamente. Los objetivos de investigación son: (1) describir y caracterizar la generalización de estudiantes de tercero y de quinto de Educación Primaria al resolver un problema que involucra una función lineal; y (2) describir cómo varían las representaciones usadas por estudiantes de tercero a sexto de primaria al trabajar con diferentes problemas de generalización que involucran funciones lineales.
Metodológicamente, seguimos las directrices de la investigación de diseño. En primer lugar, consideramos las respuestas escritas de los estudiantes de tercero y de los de quinto cuando trabajan con un mismo problema que involucra una función lineal, en el contexto de una sesión que forma parte de un experimento de enseñanza. En segundo lugar, seleccionamos a ocho estudiantes de cada uno de los grupos mencionados anteriormente y analizamos sus respuestas escritas a todas las sesiones del experimento de enseñanza y sus respuestas escritas y orales a entrevistas individuales semiestructuradas realizadas posteriormente, con la finalidad de profundizar en sus respuestas. Tanto el experimento de enseñanza como las entrevistas fueron implementadas en un mismo centro escolar de Granada (España).
Los resultados de esta tesis los organizamos a través de cinco estudios. Los cuatro primeros tributan al primer objetivo general de investigación y en estos se analizan las respuestas de los estudiantes de tercero y quinto al problema de las baldosas, el cual establece una relación entre baldosas grises (g) alrededor de baldosas blancas (b) y la relación entre ambas está dada por la función g=2b+6. En concreto, en los primeros tres estudios examinamos la generalización de las relaciones funcionales, las representaciones empleadas y el tipo de pregunta en que los estudiantes generalizan. Destacamos que tres estudiantes de tercero generalizaron la relación funcional involucrada en el problema, mientras que 19 lo hicieron en quinto. En el cuarto estudio identificamos y describimos las estructuras en las respuestas de estudiantes de quinto para ilustrar cómo estos organizan, representan y generalizan las variables involucradas en el problema que considera preguntas para las formas directa e inversa de la función. Los principales resultados muestran que todos los estudiantes evidencian estructuras correctas para las preguntas que involucran la forma directa, mientras que aparece una variedad de estructuras incorrectas en las respuestas a las preguntas de la forma inversa.
El quinto estudio está relacionado con el segundo objetivo general de investigación. Particularmente, describimos cómo varían las representaciones de los estudiantes cuando trabajan con problemas que involucran diferentes funciones lineales. Los principales resultados asociados a este estudio dan cuenta que ambos grupos de estudiantes (tercero/cuarto y quinto/sexto) tienden a usar la misma representación introducida en el enunciado de cada problema, lo que ocurre sin importar el tipo de función lineal o si estos están trabajando con casos particulares o generalizan.
Las oportunidades de aprendizaje basadas en estos hallazgos nos permiten resaltar la importancia de promover la generalización en los diferentes cursos de la Educación Primaria. Particularmente, el pensamiento funcional alienta naturalmente a que los estudiantes investiguen, ya que el foco es que estos atiendan a las relaciones y estructuras matemáticas involucradas, más que centrarse en cálculos aislados. Asimismo, el trabajo con relaciones que involucran dos variables favorece el hecho que los estudiantes vayan más allá de encontrar el siguiente término en una secuencia de elementos y promueve el desarrollo de sus razonamientos. En concreto, esta Tesis Doctoral tiene tres principales contribuciones al progreso y transferencia del conocimiento científico: (a) la forma de interpretar las relaciones funcionales en las respuestas de los estudiantes brinda significados sobre cómo estos relacionan las variables; (b) abordar el trabajo de los estudiantes de primaria con las formas directa e inversa de la función constituye un elemento original pues la mayoría de los estudios que tratan ambas formas de la función lo hacen con estudiantes de cursos posteriores a primaria y son escasos; y (c) la idea de estructura aportada en esta tesis aporta con otra forma de concebir este concepto, permitiendo profundizar en cómo los estudiantes relacionan las variables y los elementos que forman parte de dichas relaciones.
Esta investigación deja nuevas perspectivas y líneas de investigación abiertas. Por ejemplo, la formación de profesores se abre como un camino interesante. Son escasos los reportes de investigación que, desde la perspectiva del pensamiento algebraico, abordan el efecto que pueden tener estos profesionales en la mediación y construcción de los aprendizajes algebraicos de los estudiantes de primaria.
