Acotaciones en norma y un principio de casi-ortogonalidad para familias de operadores maximales a lo largo de direcciones de R2

• Autores: Mariangel Alfonseca Cubero
• Directores de la Tesis: Fernando Soria de Diego (dir. tes.) , Ana Vargas Rey (dir. tes.)
• Lectura: En la Universidad Autónoma de Madrid ( España ) en 2003
• Idioma: español
• Tribunal Calificador de la Tesis: Alberto Ruiz González (presid.) , Eugenio Hernández Rodríguez (secret.) , Anthony Carbery (voc.) , Francisco Javier Duoandikoetxea Zuazo (voc.) , Óscar Blasco de la Cruz (voc.)
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  • Tesis en acceso abierto en: Biblos-e Archivo
• Resumen

  • Dentro del Análisis Real, una de las cuestiones más recurrentes es la de la convergencia puntual de una familia de operadores. Esta cuestión se plantea al estudiar los distintos métodos de sumación de series de Fourier, la convergencia al dato de soluciones de ecuaciones diferenciales, la diferenciación de integrales ...todos ellos problemas punteros de las Matemáticas de hoy día.

    La herramienta fundamental para el estudio de la convergencia es un operador maximal, cuyas propiedades de acotación entre espacios de funciones nos dan las clases óptimas para la convergencia.

    Los operadores maximales asociados a familias de direcciones en el plano han sido objeto de profundo estudio a lo largo del siglo XX. Algunas familias concretas de direcciones, como las equidistribuidas, lagunares o multilagunares, fueron bien estudiadas en los años 70. Pero quedó abierto el problema de la acotación del operador maximal asociado a una familia cualquiera de N elementos. Recientemente, ha sido probado que la norma en L2 de dicho operador crece logarítmicamente con N. Este resultado fue una conjetura durante casi treinta años.

    En esta tesis introducimos un nuevo método para estudiar estos operadores maximales. Descomponemos una familia arbitraria de direcciones (no necesariamente finita) en varios bloques consecutivos, a cada uno de los cuales asociamos su operador maximal correspondiente. Usando métodos geométricos y lemas de cubrimiento, probamos un principio de casi otogonalidad débil y uno fuerte en L2. Estos principios dicen que la norma del operador maximal asociado a la familia completa es menor o igual que el supremo de las normas de los operadores de los bloques, más un término adicional que recoge el modo en que hemos hecho la partición en bloques. Como corolario de este resultado, obtenemos una demostración muy sencilla de la conjetura citada arriba.

    Para el caso de espacios Lp con p distinto de 2, probamos un princi