Resumen de Fiberwise hyperbolic invariant tori in quasiperiodically forced skew product systems
Jordi-Lluís Figueras Romero
El comportamiento a largo terminio de un sistema dinámico está organizado por sus objetos invariantes. Por lo tanto, es importante: entender como estos objetos invariantes persisten bajo perturbaciones del sistema, dar resultados de su existencia, regularidad y dependencia respecto parámetros, y clasificar sus bifurcaciones y mecanismos de rotura. En esta tesis hemos trabajado estas cuestiones para una classe particular de sistemas dinámicos y objetos invariantes. Los sistemas que consideramos son los que están forzados cuasiperiódicamente, es decir, acoplados a una rotacion irracional, y sus objetos invariantes son toros invariantes con dinámica irracional. Estos toros surgen como respuesta del forzamiento cuasiperiódico y se representan geométricamente como grafos de los ánguls de rotacion. Es sabido que la persistencia (en un conjunto abierto de parámetros) de variedades invariantes está fuertemente ligado al concepto de hiperbolicidad normal. En esta tesis consideramos el concepto análogo de variedades normalmente hiperbólicas en sistemas forzados cuasiperiódicamente. Por lo tanto, los toros invariantes que tratamos son fibrados hiperbólicament (FHIT). Sin entrar en demasiado detalloe, un toro continuo invariante está fibrado hiperbólicamente si hay una dicotomia en la linealización de la dinámica que lo rodea: su fibrado normal se descompone en fibrados estable e inestable donde la dinámica es unifórmemente contractiva y repulsiva, respectivamente. Fijaos que la dinámica sobre el fibrado tangente está dominada por la dinámica normal, ya que los exponentes de Lyapunov són zero. Este hecho implica que los toros fibrados hiperbólicos persisten (en un conjunto abierto de parámetros) y que tienen el mismo grado de diferenciabilidad que el sistema.
En particular, en esta tesis consideramos ejemplos en los cuales los toros bifurcan suavemente y ejemplos en que los toros se rompen. Uno de los objetivos principales es definir buenos observables para el estudio de los diferentes tipos de bifurcaciones. Los fenómenos de rotura de toros han sido estudiados con profundidad en la literatura, en el contexto de Atractores Extranyos no Caóticos (SNA). Se observa en la literatura que un toro atractor suave bifurca en un objeto atractor con una geometría muy complicada (no és un toro contínuo) pero se observa que la dinámica interna de éste no es caótica, sino quasiperiódica. Ahora bien, la atención que se ha prestado al estudio de la rotura de toros tipo silla, al contrario que a los toros atractores, es escasa en la literatura. Estos toros, con sus variedades invariantes asociadas, són mucho más difíciles de calcular numéricamente. En esta tesis hemos estudiado, entre otras cosas, que pasa después de la rotura del toro, poniendo especial émfasis en la naturaleza geométricay dinámica de los objetos invariantes que quedan después de la rotura.
En esta tesis también hemos tratado la cuestión de la existéncia de los FHIT, hasta en casos donde el toro está cerca de rotura. Aquí presentamos una nueva metodología para dar pruebas rigurosas, via Computer-Assisted Proofs (CAPs), de la existencia y unicidad (local) de FHIT en sistemas forzados cuasiperiódicamente. Un punto importante para hacer las CAPs es formular el problema de invariancia de estos objetos en términos funcionales. La aplicación de CAPs usando herramientas funcionales tiene una larga historia en el campo de los sistemas dinámicos. Uno de los precursores fue la demostración de las conjeturas fe Feigenbaum en aplicaciones unimodales, pero tambien hay, por ejemplo, la demostración de la universalidad de las cascadas de doblamiento de periodo en aplicaciones que conservan área, la prueba de la existencia del atractor extraño de Lorenz y, más recientemente, la existencia de toros invariantes críticos en sistemas hamiltonianos. Un denominador común en todas estas demostraciones es que se propone un marco funcional para el objeto que se quiere demostrar la existencia, se encuentra una aproximación numérica de éste, y después se demuestra su existencia una solución cercana a la aproximación. Todo esto se hace usando que el objeto a validar se puede parametrizar como el zero de una ecuación funcional en un espacio de Banach y viendo que se cumplen las condiciones de existencia (usando por ejemplo métodos estilo Newton). Nosotros hemos aplicado esta filosofía para la validación de toros FHIT.
Resumiendo, la tesis se puede descomponer en dos objetivos principales: el estudio de los posibles mecanismos de rotura de FHIT y la demostración rigurosa de estos usando técnicas CAPs.
