Resumen de Soluciones de la ecuación de beltrami con coeficiente regular

Víctor Alberto Cruz Barriguete

• Consideremos la ecuación de Beltrami $\overline{\partial}\, f(z)=\mu(z)\ \partial\, f(z),\quad z\in\mathbb{C}$ donde $\mu$ es una función medible definida en el plano y tal que satisface la condición de elipticidad $\|\mu\|_{\infty}\leq k<1$.

  A la aplicación $\mu$ se le llama \emph{coeficiente de Beltrami}. Por el Teorema de Morrey de 1938, existe esencialmente una única solución de la ecuación de Beltrami que es un homeomorfismo y pertenece al espacio de Sobolev $W_{loc}^{1,2}(\mathbb{C})$ (funciones donde tanto la función como sus primeras derivadas parciales pertenecen a $L_{loc}^{2}(\mathbb{C})$). A esta solución se le llama $\mu$-\emph{quasiconforme} o \emph{$K$-quasiconforme. }Toda solución en $W_{loc}^{1,2}(\mathbb{C})$ de la ecuación de Beltrami se llama \emph{quasiregular. } Es conocido que uno puede encontrar una aplicación quasiconforme que puede expresarse de forma explícita como $ f(z)=z+Ch(z) $ donde $C$ es la transformada de Cauchy. A esta aplicación quasiconforme la llamamos \emph{solución principal}.

  Mediante el Teorema de Stoilow, podemos relacionar las aplicaciones quasiregulares con la aplicación quasiconforme puesto que \emph{cualquier solución de la ecuación de Beltrami es la composición de una función holomorfa con la aplicación quasiconforme } El objetivo de esta tesis es presentar resultados de regularidad de la soluciones a la ecuación de Beltrami cuando el coeficiente tiene una cierta regularidad. Un primer resultado nos dice que:\emph{ dado un espacio de funciones $X (\mathbb{C})$, si el coeficiente de Beltrami $\mu\in X(\mathbb{C})$ tiene soporte compacto y satisface la condición de elipticidad $\|\mu\|_{\infty}\leq k<1$, entonces la solución principal $f(z)=z+Ch(z)$ y cumple que $h\in X(\mathbb{C})$. } También consideramos el estudio de la regularidad de las soluciones para coeficientes de Beltrami que están restringidos a un dominio acotado $\Omega$ del plano. El resultado principal demostrado es el siguiente: \emph{Sean $0<\alpha<\epsilon<1$ y $12$. Consideremos un dominio acotado $\Omega$ con frontera de clase $\mathcal{C}^{1,\epsilon}$ y $\mu$ una función medible soportada en $\Omega$ tal que $\|\mu\|_{\infty}\leq k<1$. Entonces, si $\mu\in X^{\alpha,p}(\Omega)$, entonces la solución principal de la ecuación de Beltrami es $f(z)=z+Ch(z)$, donde $h\in X^{\alpha,p}(\Omega)$ y donde $X^{\alpha,p}(\Omega)=W^{\alpha,p}(\Omega)$ ó $B_{p,p}^{\alpha}(\Omega)$.} Demostramos para ciertos espacios de funciones definidos en un dominio $\Omega$ de $\mathbb{R}^{n}$ que si $T$ es un operador de Calderón-Zygmund de tipo par, la condición que $T\chi_{\Omega}$ pertenezca al espacio de funciones $X(\Omega)$ (donde $\chi_{\Omega}$ es la función característica en $\Omega$) equivale a que\emph{ $T$} sea\emph{ }acotado de\emph{$X(\Omega)$} en $X(\Omega)$.

  En el espacio de Lebesgue con pesos $L^{p}(\omega)$ donde $\omega$ es de la clase de Muckenhoupt $A_{p}$, demostramos que el operador de Beltrami $I-\mu B$ es invertible en $L^{p}(\omega)$ cuando $\omega$ es un peso de $A_{p}$.