Resumen de Approximate aggregation of nonlinear dynamical systems
- español
Esta tesis pertenece al campo de la biología matemática. Los resultados matemáticos extienden resultados previos en relación a la agregación aproximada de sistemas con dos escalas de tiempo.
En la Naturaleza, muchos fenómenos resultan de la concurrencia de distintos procesos que pueden desarrollarse, o no, en diferentes escalas de tiempo. Consideramos sistemas que combinan dos procesos que evolucionan en escalas de tiempo diferentes, a los que llamaremos proceso rápido y proceso lento. Estos sistemas proporcionan modelos de la realidad muy detallados pero, en general, mucho más complicados de estudiar que aquellos modelos que incluyen un único proceso. Bajo ciertas condiciones es posible aprovechar la diferencia de escalas de tiempo para construir un sistema (llamado agregado) de menor dimensión que el sistema original. Las técnicas de agregación aproximada establecen bajo qué condiciones tiene sentido construir el sistema agregado y, en ese caso, qué información asintótica de la dinámica del sistema original es posible obtener a través del estudio del sistema agregado.
El objetivo de esta tesis es extender las técnicas de agregación aproximada disponibles para sistemas no lineales con dos escalas de tiempo, tanto discretos como de ecuaciones diferenciales ordinarias no autónomas. Aplicamos estos resultados al estudio de modelos poblacionales con dos escales de tiempo. Supondremos, sin pérdida de generalidad, que el vector de variables de estado X representa los individuos de una población estructurada.
El capítulo 1 trata los sistemas discretos no lineales con dos escalas de tiempo. Los resultados más generales disponibles para la agregación aproximada de este tipo de sistemas se verifican bajo condiciones que, en la práctica, son difíciles de comprobar, lo que limita su aplicabilidad. Hasta donde sabemos, en el estudio de modelos concretos, el proceso lento puede ser representado por una función general de clase 1, mientras que el proceso rápido es descrito por una matriz (constante) estocástica regular. En nuestros resultados presentamos clases de funciones, más generales que las representadas por matrices estocásticas regulares, adecuadas para describir el proceso rápido y que, en particular, pueden incluir términos no lineales.
En primer lugar suponemos que el proceso rápido preserva el número total de individuos z=||X||. Dicha dinámica está representada por una matriz estocástica regular tal que sus entradas son función de clase 1 de la variable z que, a su vez, es función de las variables de estado. Esta hipótesis significa que la evolución de la población bajo la acción del proceso rápido depende del tamaño total de la población en ese momento. Se demuestra entonces que el correspondiente sistema con dos escalas de tiempo es susceptible de ser estudiado con las técnicas de agregación antes mencionadas. Con estos resultados para estudiar distintos modelos poblacionales que combinan un proceso demográfico y otro migratorio que discurren conforme a escalas de tiempo diferentes. Dichos modelos son analizados intercambiando el papel del proceso rápido y del lento. De entre los resultados obtenidos a partir del estudio del sistema agregado, cabe destacar nuevas interpretaciones de modelos poblacionales clásicos o situaciones en las que se produce el efecto Allé.
A continuación tratamos sistemas discretos en los que las variables de estado están parcialmente acopladas bajo la acción de la dinámica rápida. Es decir; bajo la acción del proceso rápido, la evolución de una parte de la población depende del estado de la otra parte de la población. Esta idea es plasmada como sigue. Supongamos que la población está dividida en dos grupos. La evolución de los individuos de cada grupo está descrita por una matriz estocástica regular positiva, de modo que las entradas de la matriz que controla el segundo grupo de variables son función (de clase 2) del primer grupo de varibles. Se demuestra que el correspondiente sistema con dos escalas de tiempo verifica las hipótesis necesarias para poder ser analizado con las técnicas de agregación aproximada. Aplicamos estos resultados a una comunidad con hospedadores y parasitoides en un hábitat fragmentado. Consideramos que los desplazamientos de individuos entre las distintas regiones suceden con mayor frecuencia que las interacciones entre hospedadores y parasitoides a nivel local. Suponemos, además, que los hospedadores se mueven de forma aleatoria, mientras que los parasitoides tienen preferencia por aquellas zonas con mayor densidad de hospedadores. Usando las técnicas de agregación aproximada se demuestra que el sistema completo puede exhibir equilibrios asintóticamente estables cuando, en ausencia de desplazamientos, tales equilibrios no existen.
En el capítulo 2 se estudia la agregación aproximada de sistemas no autónomos de ecuaciones diferenciales ordinarias con dos escalas de tiempo. La herramienta fundamental es un teorema debido a F.C. Hoppensteadt y relativo a perturbaciones singulares de sistemas con dos escalas de tiempo en intervalos no acotados. Este teorema establece condiciones que permiten estudiar ciertas propiedades dinámicas de sistemas no autónomos con dos escalas de tiempo a partir de dos problemas asociados más sencillos que el original. Este teorema requiere de una serie de hipótesis restrictivas y complicadas de verificar. Las hipótesis se refieren a la regularidad de las funciones involucradas en el sistema y a la estabilidad de las soluciones de los sistemas asociados.
A grandes rasgos, probamos que las condiciones de regularidad se cumplen tanto para sistemas periódicos como para sistemas asintóticamente autónomos. Y, lo que es más importante, demostramos que en esos casos las condiciones sobre la estabilidad de las soluciones de los sistemas auxiliares pueden ser enunciadas en términos de ciertos sistemas variacionales. Esto simplifica enormemente el estudio del sistema completo a través de dichos sistemas asociados.
Aplicamos estos resultados al estudio de distintos modelos de poblaciones.
Consideramos sistemas periódicos que describen poblaciones espacialmente distribuidas en un hábitat heterogéneo. Supongamos que los desplazamientos de individuos entre las distintas zonas que componen el hábitat son más rápidos que las interacciones entre individuos en cada una de esas zonas. En una primera aplicación estudiamos un sistema depredador-presa de tipo Lotka-Volterra con refugio para las presas e interferencia entre los predadores. Rasgo este último que resulta especialmente relevante para adecuar modelos a conjuntos de datos reales. Obtenemos condiciones que garantizan la coexistencia o la exclusión de los depredadores en términos de ciertos parámetros ''vitales'' derivados del estudio del modelo agregado. En una segunda aplicación consideramos una población afectada por una epidemia con múltiples cepas. A partir del sistema agregado obtenemos números reproductivos y números reproductivos de invasión para el sistema no autónomo espacialmente distribuido. Dichas cantidades son coherentes con la definición habitual para modelos no espaciales. Al comparar esos números reproductivos con los obtenidos en el caso no espacialmente distribuido, se pone de manifiesto que determinadas tasas de desplazamiento en la escala rápida implican que la epidemia es erradicada (resp. persistente) en situaciones en las que, en ausencia de desplazamientos, el modelo predice lo contrario.
Finalmente, estudiamos un modelo eco-epidemiológico asintóticamente autónomo. El proceso lento corresponde a un modelo depredador presa de tipo Lotka-Volterra. Los depredadores están afectados por una epidemia que sigue la ley de transmisión dependiente de la frecuencia. Aunque la epidemia no es mortal de necesidad, aumenta la mortalidad de los depredadores infectados. Se demuestra que el tamaño de la población de depredadores (resp. presas) es mayor (resp. menor) cuando la epidemia es erradicada que cuando se vuelve endémica. En este último caso, los tamaños poblacionales dependen de los valores de los parámetros que describen el proceso epidemiológico. Por tanto, la introducción de una epidemia en este tipo de comunidades se postula como un mecanismo para controlar los tamaños poblacionales.
- English
This thesis must be placed somewhere in mathematical biology. We deal with two time scale systems and mathematical results achieved herein concern extending previous results in approximate aggregation methods.
In Nature, many phenomenon are the result of the concurrence of several processes which may evolve, or not, within similar time scales. Considering systems coupling two processes evolving at different time scales yields more detailed but also more complicated models than those models including a single process.
Under certain conditions, taking advantage of the difference between these time scales allow us to derive an aggregated (less dimensional) system. Approximate aggregation techniques not only describe how to perform such a reduction, but also which dynamical information about the original system can be retrieved from the study of the aggregated system.
The main objective of this thesis is extend previous results in the approximate aggregation of nonlinear discrete dynamical systems and nonautonomous ordinary differential equation systems. These results are applied to de study of different two time scales population models. We assume, without lost of generality, that the state variables vector represents an structured population.
In chapter 1 we deal with two time scale nonlinear discrete systems. The most general results in approximate aggregation for this kind of systems hold under general hypothesis which are, in practice, difficult to be checked. To the best of our knowledge, applications consider general C1 functions representing the slow process while regular (constant) stochastic matrices are used to describe the fast process. Our results enhance the class of suitable functions for describing the fast process, in particular, allowing nonlinear terms.
In section 1.2 we assume that fast dynamics is conservative of the total population size y = kXk1. We consider a regular stochastic matrix whose entries are C1 function of y (which depends on the state variables) standing for the fast process. Then, we show that the corresponding two time scales system is susceptible of being approximately aggregated. This assumption means that the behavior of the population at the fast time scale depends on the current total population size. We apply this result to the study of different population models coupling demographic and migratory processes which take place at different time scales.
An analysis of these models, exchanging the role of slow and fast dynamics, completes the section. The reduction process gives rise to new interpretations of well known discrete models, including some Allee effect scenarios.
In section 1.3 we let the state variables to be partially coupled at the fast time scale. Namely, the evolution within the fast time scale of a group of state variables depends on the current state of the rest of the state variables. The idea is conveyed as follows. Let us group the state variables in two groups. The evolution of each group at the fast time scale is driven by a regular stochastic matrix, such that the entries of the matrix governing the evolution of the second group of variables are C2 function of the variables of the first block. We show that the corresponding two time scales system is also susceptible of being approximately aggregated. We apply this settings to a host-parasitoid community inhabiting a chain of patches. Movements between patches are considered to be faster than host-parasitoid interactions. Parasitoid movements depend on host densities at each patch in such a way that parasitoids avoid those patches with low host densities. We found that the complete model can exhibit asymptotically stable equilibrium points while in absence of migrations the contrary was expected.
In chapter 2 we deal with two time scales nonautonomous ordinary differential equation systems. Our results are based on a theorem due to F.C. Hoppensteadt concerning singular perturbations of two time scales systems on the infinite interval. This theorem states conditions allowing the study of certain dynamical properties of nonautonomous two time scale systems analyzing auxiliary systems which are simpler that the original system. This theorem is a general one. As a counterpart, it holds under restrictive and difficult to check hypotheses. These requirements are regularity conditions concerning those functions involved in the system and stability conditions for the solutions of the auxiliary systems.
Our results show, roughly, that these regularity conditions hold when considering periodic systems (section 2.2) or asymptotically autonomous systems (section 2.3). Most important, we show that in these cases, the stability conditions can be restated in terms of adequate variational problems, which simplifies drastically the study of the complete system through the auxiliary ones. We apply these results to different population models.
We consider periodic spatially distributed populations in a patchy heterogeneous environment and displacements between patches are assumed to be faster than local interactions. In a first application we analyze a periodic Lotka-Volterra predator-prey type model with refuge for prey and predator interference. The last feature has been proven to be relevant when fitting models to real data. We obtain conditions for coexistence and predator exclusion in terms of certain ”vital” parameters derived from the study of the aggregated model. In a second application we consider a spatially distributed periodic multi strain epidemic model.
We are able to define reproduction numbers and invasion reproduction numbers of the spatially distributed nonautonomous model through the aggregated system which are coherent with those defined for non spatially distributed models. Comparing these reproduction numbers with their non spatially distributed counterparts, we showed that adequate fast migration rates entail persistence or eradication of epidemic strains in regions where in absence of migrations the contrary was expected.
Finally, we study an asymptotically autonomous eco-epidemiologic model. We consider a Lotka-Volterra predator-prey model as a slow process. This community system is coupled with a SIR epidemic model following the frequencydependent transmission law affecting predators. We show that predator (prey) population size is larger (smaller) in the free disease state than in the endemic disease scenario. In this case, population sizes depends on epidemic parameter values. Then, epidemics are a suitable mechanism for controlling predator and prey community population size.
