Resumen de Métodos de descomposición de dominio con adaptación de mallado en problemas de Convección-Reacción-Difusión

Maria Manuela André Alves Simões

• Presentamos un algoritmo adaptativo convergente tipo Uzawa usando técnicas de descomposición de dominios, AMUADD, para resolver problemas elípticos de 2do orden estacionarios y extendemos su aplicación a problemas de convección-reacción-difusión así como desarrollamos una versión paralela del mismo en una máquina de memoria compartida.

  Empezamos considerando un problema lineal estacionario definido en un dominio $, descomponemos el dominio en dos subdominios $1 y $2, &12 es la frontera interna entre los dos subdominios, y aplicamos en cada subdominio un método de elementos finitos adaptativo usando un refinamiento basado en un estimador de error a-posteriori. El punto de partida es la Formulación híbrida Primal de un problema elíptico. Modificamos el algoritmo de Uzawa de dos formas: La primera modificación consiste en el uso de diferentes operadores auxiliares para resolver el problema sobre la frontera interna, con el fin de acelerar la convergencia. La segunda, consiste en la introducción de adaptación en las mallas (Algoritmo adaptativo de Uzawa modificado). Algoritmo: Escoger parámetros 
  >0 tal que 2:= 
    y       1. Dado un espacio de dimensión finita  y aproximación inicial  en .

  2. Obtener  por adaptación del mallado  y calcular  en .

  3. Actualizar  en  usando  y .

  4. .

  5.     6. Ir para paso 2.

  donde S es el complemento de Schur asociado al algoritmo de Uzawa y el par ! " es la solución discreta para el problema aproximado. Demostramos la convergencia del método con respecto a la solución discreta: Sea   la sucesión de soluciones obtenida con el algoritmo adaptativo de Uzawa modificado. Existen constantes positivas C y :<1 tales que: #$  #% #&  #' ( )* donde +son espacios funcionales adecuados; u , p son las soluciones discretas en un mallado suficientemente fino. La combinación de la iteración de Uzawa con adaptación de mallado mejora notablemente la convergencia del algoritmo de Uzawa. Las experiencias numéricas corroboran los resultados del análisis teórico así como la robustez del algoritmo.