Resumen de monodromías como grafos tête-à-tête

Pablo Portilla Cuadrado

• En 2010 N. A` Campo presentó la noción de grafo tête-à-tête puro con el objetivo de modelar las monodromías de curvas planas. Estos son grafos ribbon sin vértices univalentes que satisfacen una propiedad especial. Si piensas en el grafo ribbon como en un retracto de la superficie con borde asociada, la propiedad tête-à-tête te dice que empezando en cualquier punto y caminando una distancia fija en cualquier dirección y siempre girando a la derecha en cualquier vértice, llegas al mismo punto. Esta propiedad define un elemento del mapping class group a frontera fija que es periódico a frontera libre. Este elemento es el tête-à-tête twist asociado con el grafo.

  El trabajo empieza con la teoría preliminar necesaria para entender el resto de contenidos. Todos los resultados de esta parte son conocidos. Consiste de los primeros cinco capítulos. Después, presentamos las definiciones originales de grafos tête-à-tête de A¿Campo.

  Mostramos que la propiedad tête-à-tête induce un automorfismo periódico del grafo ribbon y un automorfismo periódico a frontera libre en el engordamiento del grafo. Demostramos el primero de los resultados principales del trabajo el cual caracteriza las mapping classes que contienen algún representante tête-à-tête . Este resultado está contenido en un trabajo conjunto con J. Fernández de Bobadilla and M. Pe Pereira. El enunciado dice:

  ¿El conjunto de mapping classes a frontera fija que son inducidas por grafos tête-à-tête (en el sentido original de A¿Campo) es precisamente el conjunto de mapping classes periódicas a frontera libre que tienen coeficientes fracionales de Dehn twist estrictamente positivos.¿ A continuación presentamos los grafos tête-à-tête generales. Estos son grafos ribbon métricos con un conjunto especial de vértices univalents. Satisfacen una propiedad tête-à-tête y demostramos que son suficientes para modelar todas las mapping classes periódicas de una superficie orientada con borde. Con los grafos definidos hasta el momento tan solo podemos modelar automorfismos que son periódicos a frontera libre. Esto no es suficiente para modelar monodromías de curva plana con más de un par de Puiseux. Con esta motivación definimos los grafos tête-à-tête mixtos. Son grafos ribbon con una métrica y una filtración decreciente junto con una colección de funciones localmente constantes. Satisfacen una propiedad tête-à-tête mixta que generaliza la propiedad tête-à-tête y definen una mapping class pseudo-periódica.Demostramos un teorema de realización sobre grafos mixtos caracterizando qué automorfismos pseudo-periódicos son capaces de modelar.

  ¿Dado un automorfismo de superficie que fija el borde. Entonces existe un grafo tête-à-tête mixto en la superficie que induce su mapping class a frontera fija si y solo si alguna potencia suficientemente grande del automorfismo es una composición de twist de Dehn hacia la derecha a lo largo de curvas cerradas disjuntas que incluyen todos las componentes de borde.¿ Aplicando el teorema previo junto con un resultado de Neumann y Pichon, probamos el siguiente corolario:

  ¿Los automorfismos tête-à-tête mixtos son precisamente las monodromías asociadas a gérmenes reducidos de función holomorfa definidos en singularidades de superficie aisladas.¿ Observamos que el mapping torus de un automorfismo pseudo-periódico es una variedad de grafo. Por otro lado, una superficie horizontal en una variedad de graph con fibras orientadas tiene una monodromía pseudo-periódica asociada. En los últimos dos capítulos de la tesis detallamos algoritmos que llevan de un mundo a otro partiendo de información combinatoria en ambos lados.

  El trabajo termina con tres apéndices que son contenido adicional y no necesarios para entender lo anterior. El último de lop apéndices consistente de una lista exhaustiva de ejemplos ilustrando los principales resultados y algoritmos del trabajo.